作者： 荒原之梦

前言

在计算积分的时候，有时会需要使用三角函数代换（三角代换）的方式去掉二次根号。本文将给出一种扩展之后的三角函数代换公式，能够适用于更多的需要使用三角函数代换的计算场景，以作参考。

继续阅读“[高数]扩展后的三角函数代换公式”

前言

在解题过程中，注意使用【变量的对称性】所隐含的性质可以提高解题速度。本文将对此进行一个说明，以作参考。

继续阅读“[高数]使用变量的对称性快速写出有关结论”

前言

本文记录了关于拆分 $\sqrt{ab}$ 和 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ 的两个小结论，以作参考。

继续阅读“[高数]关于拆分根号的两个小结论”

前言

在对有理函数进行积分的时候，我们常常需要对 $a{x}^2+bx+c$ 形式的方程进行拆分，以便将其写成部分和的形式或者做其他变形以计算积分。当 $a{x}^2+bx+c$ 是一个有理方程的时候，例如当其的两个实数解分别是 $x_1=aa$ 和 $x_2=bb$ 的时候，我们可以把 $a{x}^2+bx+c$ 写成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式，之后再利用如下式子求出 $A$ 和 $B$ 就完成对原有理函数 $\frac{cx+d}{a{x}^2+bx+c}$ 的拆分：

$$\frac{A}{(x-aa)}+\frac{B}{(x-bb)}=\frac{cx+d}{a{x}^2+bx+c}$$

注意：上式中的 $A$ 和 $B$ 可以包含未知数，只要能使上式成立即可，不一定都是常数。

但是，上述方法在应对分母是无理方程的有理函数积分时就失效了，因为无理方程没有实数解，无法拆分成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式。

其实，无理方程中一般都是“包含着”有理方程的，如果我们能把其中的有理方程“提取”出来，同样可以完成对这类包含无理方程的有理函数的积分。

本文将通过一个例子对此进行分析，以作参考。

注意：本文中提到的“有理方程”和“无理方程”都是【一元二次方程】。

继续阅读“[高数]举例说明如何从无理方程中分解出有理方程”