作者： 荒原之梦

前言

在对有理函数进行积分的时候，我们常常需要对 $ax^{2} + bx + c$ 形式的方程进行拆分，以便将其写成部分和的形式或者做其他变形以计算积分。当 $ax^{2} + bx + c$ 是一个有理方程的时候，例如当其的两个实数解分别是 $x_{1} = aa$ 和 $x_{2} = bb$ 的时候，我们可以把 $ax^{2} + bx + c$ 写成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式，之后再利用如下式子求出 $A$ 和 $B$ 就完成对原有理函数 $\frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}$ 的拆分：

$$
\frac{A}{(x-aa)} + \frac{B}{(x-bb)} = \frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}
$$

注意：上式中的 $A$ 和 $B$ 可以包含未知数，只要能使上式成立即可，不一定都是常数。

但是，上述方法在应对分母是无理方程的有理函数积分时就失效了，因为无理方程没有实数解，无法拆分成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式。

其实，无理方程中一般都是“包含着”有理方程的，如果我们能把其中的有理方程“提取”出来，同样可以完成对这类包含无理方程的有理函数的积分。

本文将通过一个例子对此进行分析，以作参考。

注意：本文中提到的“有理方程”和“无理方程”都是【一元二次方程】。

继续阅读“[高数]举例说明如何从无理方程中分解出有理方程”

前言

考研数学题中有时会需要计算三次方程的解，这时候，我们可以先将三次方程【分解】成更低阶的一次方程和二次方程的乘积，之后利用相关公式计算。本文将通过一个例子展示这种求解方法，以作参考。

继续阅读“[高数]举例说明特殊情况下如何计算三次方程的解”

前言

本文要讨论的是：极限环境下 “$0$ 正” 除以 “$0$ 负” 等于多少?

也就是讨论：

$$
\lim \frac{0^{+}}{0^{-}} = ?
$$

继续阅读“[高数]极限环境下 “0 正” 除以 “0 负” 等于多少?”

前言

无穷大 $(\infty)$ 与正无穷大 $(+ \infty)$ 和负无穷大 $(- \infty)$ 之间的关系可能会让人感到困惑进而影响高数题目的求解。本文将对此做一个分析说明，以作参考。

继续阅读“[高数]关于无穷大和正无穷大以及负无穷大的关系的分析”