取对数的好处：化乘为加，化除为减

一、前言

一般情况下，基于乘法或者除法进行的运算，要比基于加法或者减法进行的运算更加复杂一些，所以，如果能够将乘除法转换为加减法，则运算过程就可能得到简化.

在本文中，我们就来看看如何使用取对数的方式，将式子中的乘法转为加法，将式子中的除法转为减法.

二、正文

§2.1 基本公式

• 对数的“化乘为加”公式：

$$
\begin{aligned}
\log_{a} (M \times N) & = \log_{a} M + \log_{a} N \\ \\
\ln (M \times N) & = \ln M + \ln N
\end{aligned}
$$

• 对数的“化除为减”公式：

$$
\begin{aligned}
\log_{a} \frac{M}{N} & = \log_{a} M – \log_{a} N \\ \\
\ln \frac{M}{N} & = \ln M – \ln N
\end{aligned}
$$

§2.2 题目

已知，函数 $y$ $=$ $\sqrt[16]{\dfrac{(x+1)^{2}(2-x)}{(3-x)^{2}(x-4)}}$, 则：

$$
y ^{\prime} = ?
$$

§2.3 解析

由题可知：

$$
y = \sqrt[16]{\dfrac{(x+1)^{2}(2-x)}{(3-x)^{2}(x-4)}} = \left[ \dfrac{(x+1)^{2}(2-x)}{(3-x)^{2}(x-4)} \right]^{\dfrac{1}{16}} \tag{1}
$$

但是，直接使用求导公式对上面的 $(1)$ 式进行求导显然很复杂，所以，我们首先在函数 $y$ 的表达式两边，取绝对值并取对数，得：

$$
\begin{align}
|y| & = \left| \left[ \dfrac{(x+1)^{2}(2-x)}{(3-x)^{2}(x-4)} \right]^{\dfrac{1}{16}} \right| \tag{2} \\ \notag \\
\ln |y| & = \ln \left| \left[ \dfrac{(x+1)^{2}(2-x)}{(3-x)^{2}(x-4)} \right]^{\dfrac{1}{16}} \right| \tag{3} \\ \notag \\
\ln |y| & = \dfrac{1}{16} \ln \left| \dfrac{(x+1)^{2}(2-x)}{(3-x)^{2}(x-4)} \right| \tag{4} \\ \notag \\
\ln |y| & = \dfrac{1}{16} \left[ \ln \left| (x+1)^{2}(2-x) \right| – \ln \left| (3-x)^{2}(x-4) \right| \right] \tag{5} \\ \notag \\
\ln |y| & = \dfrac{1}{16} \left\{ \left[ \ln \left| \ln (x+1)^{2} \right| + \ln \left| (2-x) \right| \right] – \left[ \ln \left| (3-x)^{2} \right| + \ln \left|(x-4) \right| \right] \right\} \tag{6} \\ \notag \\
\ln|y| & = \dfrac{1}{16}(2\ln|x+1|+\ln|2-x|-2\ln|3-x|-\ln|x-4|) \tag{7}
\end{align}
$$

由于对数函数 $\ln$ 的定义域是 $x > 0$, 所以，在出现 $\ln$ 的式子中，$\ln$ 作用范围内的变量都要通过加绝对值的方式确保符合 $\ln$ 定义域的要求，如上面的式子 $(2) – (7)$;
但是，当式子中没有 $\ln$ 的时候，就不再需要使用绝对值对取值范围进行限定了，如下面的式子 $(8)$——即便式子 $(8)$ 是通过对式子 $(7)$ 求导得到的.

接着，在上面的 $(7)$ 式等号两边，同时对 $x$ 求导数，得：

$$
\dfrac{y ^{\prime}}{y} = \dfrac{1}{16} \left(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{2-x} + \dfrac{2}{3-x}-\dfrac{1}{x-4}\right) \tag{8}
$$

综上可知：

$$
\begin{aligned}
y ^{\prime} & = y \cdot \dfrac{1}{16} \left(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{2-x} + \dfrac{2}{3-x}-\dfrac{1}{x-4}\right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ y ^{\prime} } & \textcolor{lightgreen}{ = } \textcolor{lightgreen}{ \dfrac{1}{16} \sqrt[16]{\dfrac{(x+1)^{2}(2-x)}{(3-x)^{2}(x-4)}}\left(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{2}{3-x}-\dfrac{1}{x-4} \right) }
\end{aligned}
$$

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