[高数]举例说明如何从无理方程中分解出有理方程

前言

在对有理函数进行积分的时候,我们常常需要对 $ax^{2} + bx + c$ 形式的方程进行拆分,以便将其写成部分和的形式或者做其他变形以计算积分。当 $ax^{2} + bx + c$ 是一个有理方程的时候,例如当其的两个实数解分别是 $x_{1} = aa$ 和 $x_{2} = bb$ 的时候,我们可以把 $ax^{2} + bx + c$ 写成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式,之后再利用如下式子求出 $A$ 和 $B$ 就完成对原有理函数 $\frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}$ 的拆分:

$$
\frac{A}{(x-aa)} + \frac{B}{(x-bb)} = \frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}
$$

但是,上述方法在应对分母是无理方程的有理函数积分时就失效了,因为无理方程没有实数解,无法拆分成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式。

其实,无理方程中一般都是“包含着”有理方程的,如果我们能把其中的有理方程“提取”出来,同样可以完成对这类包含无理方程的有理函数的积分。

本文将通过一个例子对此进行分析,以作参考。

注意:本文中提到的“有理方程”和“无理方程”都是【一元二次方程】。

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[高数]举例说明特殊情况下如何计算三次方程的解

前言

考研数学题中有时会需要计算三次方程的解,这时候,我们可以先将三次方程【分解】成更低阶的一次方程和二次方程的乘积,之后利用相关公式计算。本文将通过一个例子展示这种求解方法,以作参考。

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