标签： 考研数学真题

题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上具有二阶导数，$f(a)=0$, $f^{‘}(x) > 0$, $f^{”}(x) > 0$, 设 $b > a$, 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点是 $(x_{0}, 0)$. 证明：$a < x_{0} < b$.

继续阅读“2015年考研数二第21题解析：导数、函数的单调性与凹凸性”

题目

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 $120$ ℃ 的物体在 $20$ ℃ 的恒温介质中冷却，$30$ min 后该物体温度降至 $30$ ℃, 若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却多长时间？

继续阅读“2015年考研数二第20题解析：物理应用、微分、一阶线性微分方程”

题目

已知函数 $f(x) =$ $\int_{x}^{1} \sqrt{1+t^{2}} {\rm d} t +$ $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1+t} {\rm d} t$, 求 $f(x)$ 零点的个数.

继续阅读“2015年考研数二第19题解析：变限积分、零点、一阶导数”

题目

计算二重积分 $\iint_{D} x(x+y) {\rm d} x {\rm d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2} \right\}$.

继续阅读“2015年考研数二第18题解析：二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式”

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足：

$$
f_{xy}^{”}(x,y) = 2(y+1)e^{x},
$$

$$
f_{x}^{‘}(x,0) = (x+1)e^{x},
$$

$$
f(0,y) = y^{2} + 2y.
$$

求 $f(x,y)$ 的极值.

继续阅读“2015年考研数二第17题解析：利用二元函数的偏导数求极值、不定积分”

题目

设 $A>0$, $D$ 是由曲线段 $y=$ $A \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2})$ 及直线 $y=0$, $x = \frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域，$V_{1}$, $V_{2}$ 分别表示 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积，若 $V_{1}=V_{2}$, 求 $A$ 的值.

继续阅读“2015年考研数二第16题解析：定积分、旋转体的体积”

题目

设函数 $f(x)=$ $x +$ $a \ln(1+x) +$ $bx \sin x$, $g(x)=$ $kx^{3}$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a$, $b$, $k$ 的值.

继续阅读“2015年考研数二第15题解析：等价无穷小、麦克劳林公式”

题目

证明：$n$ 阶矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1\\
0 & \cdots & 0 & 2\\
\vdots & & \vdots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & n
\end{bmatrix}$ 相似.

继续阅读“2014年考研数二第23题解析：矩阵相似性、矩阵相似对角化”

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y} =$ $2(y+1)$, 且 $f(y,y) =$ $(y+1)^{2}-$ $(2-y) \ln y$, 求曲线 $f(x,y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积.

继续阅读“2014年考研数二第21题解析：旋转体的体积、偏导数”

题目

设函数 $f(x)=$ $\frac{x}{1+x}$, $x \in [0,1]$, 定义数列：

$$
f_{1}(x) = f(x),
$$

$$
f_{2}(x) = f[f_{1}(x)],
$$

$$
\cdot \cdot \cdot,
$$

$$
f_{n}(x) = f[f_{n-1}(x)],
$$

$$
\cdot \cdot \cdot
$$

记 $S_{n}$ 是曲线 $y=f_{n}(x)$, 直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $\lim_{n \rightarrow \infty} n S_{n}$.

继续阅读“2014年考研数二第20题解析：极限、数列、数学归纳法”

题目

设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加，$0 \leqslant g(x) \leqslant 1$, 证明：

$(Ⅰ)$ $0 \leqslant \int_{a}^{x} g(t) dt$ $\leqslant x-a$, $x \in [a,b]$;

$(Ⅱ)$ $\int_{a}^{a+\int_{a}^{b}g(t) dt} f(x) dx$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx$.

继续阅读“2014年考研数二第19题解析：变上限积分、函数的单调性、积分中值定理”

题目

设函数 $f(u)$ 二阶连续可导，$z=f(e^{x} \cos y)$ 满足 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}$ $=(4z + e^{x} \cos y)e^{2x}$, 若 $f(0)=0$, $f^{‘}(0)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式.

继续阅读“2014年考研数二第18题解析：偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程”

题目

设平面区域 $D=$ $\{(x,y)|$ $1 \leqslant x^{2} + y^{2} \leqslant 4$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0 \}$, 计算：

$$
\iint_{D} \frac{x \sin (\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}})}{x+y} dxdy.
$$

解析

根据题目可知，积分区域 $D$ 是由两个圆心坐标均为 $(0,0)$, 半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个同心圆在直角坐标系的第一象限中围成的，如图 01 所示：

继续阅读“2014年考研数二第17题解析：二重积分、极坐标系”