一、题目
$x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是（ ）
难度评级：
继续阅读“遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程”标签： 考研数学
被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换
一、题目
已知 $a>0$, 则：
$$
I=\int_{0}^{a} x^{3} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换”在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想
一、题目
$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想”对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解
一、题目
$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}} \mathrm{~d} x=?
$$
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继续阅读“对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解”如何通过通解还原微分方程？
一、题目
已知 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：
(A) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$
(B) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$
(C) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$
(D) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$
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继续阅读“如何通过通解还原微分方程？”判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论
一、题目
已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解, 则：
(A) $q>0$
(B) $q \geqslant 0$
(C) $q<0$
(D) $q \leqslant 0$
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继续阅读“判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论”求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？
一、题目
由曲线 $y=\operatorname{ch} x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 及三条直线 $x=-1$, $x=1$, $y=0$ 围成的曲边梯形绕 $Y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于多少？
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继续阅读“求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？”涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例
一、题目
若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 又 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=l$, 则
(A) $l>0$
(B) $l=0$
(C) $l<0$
(D) 以上均不对
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继续阅读“涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例”解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑
一、题目
若 $a>0, f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 并且当 $0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$
(A) $>0$
(B) $<0$
(C) $=0$
(D) 不能确定符号
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继续阅读“解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑”对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧
一、题目
曲线 $y=(x+2) \mathrm{e}^{\frac{-1}{x}}$
(A) 仅有水平渐近线
(B) 仅有铅直渐近线
(C) 既有铅直又有水平渐近线
(D) 既有铅直又有斜渐近线
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继续阅读“对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧”带着根号求导找极值很复杂，可以先平方去根号后再求导
一、题目
曲线 $y=\ln x$ 上点的曲率具有性质：
(A) 最大值为 $\frac{2}{9} \sqrt{3}$
(B) 最小值为 $\frac{1}{8}$
(C) 最大值为 $\frac{1}{9} \sqrt{3}$
(D) 无最大值
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继续阅读“带着根号求导找极值很复杂，可以先平方去根号后再求导”拐点不一定是驻点
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $x_{0} \neq 0,\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点, 则：
(A) $x_{0}$ 必是 $f^{\prime}(x)$ 的驻点
(B) $\left(-x_{0},-f\left(x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(-x)$ 的拐点
(C) $\left(-x_{0},-f\left(-x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(x)$ 的拐点
(D) 对任意 $x>x_{0}$ 与 $x<x_{0}, y=f(x)$ 的凹凸性相反
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继续阅读“拐点不一定是驻点”求解斜渐近线：原函数除以 x
「零负」乘以「零负」得「零正」
一、题目
已知 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 邻域二阶连续可导且满足 $x y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=\arctan ^{2} x$, 则：
(A) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点
(B) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点
(C) $(0, y(0))$ 点是 $y=y(x)$ 的拐点
(D) 以上均不对
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继续阅读“「零负」乘以「零负」得「零正」”你会用一阶导还是二阶导判断极值点？
一、题目
已知 $f(x)=x \sin x+\cos x$, 下列命题中正确的是：
(A) $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值
(B) $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值
(C) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极大值
(D) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极小值
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继续阅读“你会用一阶导还是二阶导判断极值点？”