$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$
观察可知，方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$ 的特点是不显含自变量 $x$, 于是
令 $u$ $=$ $y^{\prime}$, 则有 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} y}$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $u$ $u^{\prime}$.
于是，微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$ 变为一个以 $y$ 为自变量，$u(y)$ 为末知函数的一阶微分方程：
$u$ $u^{\prime}$ $=$ $f(y, u)$.
观察可知，方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 的特点是不显含末知函数 $y$, 于是：
令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 即可变为一阶微分方程：
$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$
对原式等号两端的表达式做 $n$ 次积分即可
$\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$
$($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$
$y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$
