初等变换和初等矩阵归档

第三种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 第 $i$ 行元素的 $k$ 倍加到第 $j$ 行上，或者将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 第 $i$ 列元素的 $k$ 倍加到第 $j$ 列上，所得的矩阵被称为第三种初等矩阵。
根据惯例，以下对第三种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[B]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[C]. $k \boldsymbol{E}_{i j}$

[D]. $\boldsymbol{E}_{j}(k)$

显示答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{cyan}{j}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} r_{\textcolor{orange}{i}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}(\textcolor{tan}{k})$

第二种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 第 $i$ 行元素 $r_{i}$ 或者将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 第 $i$ 列元素 $c_{i}$ 乘以非零常数 $k$, 所得的矩阵被称为第二种初等矩阵。
根据惯例，以下对第二种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $k \boldsymbol{E}_{i}$

[B]. $\boldsymbol{E}_{i}$

[C]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

显示答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i}}(\textcolor{cyan}{k})$

第一种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 第 $i$ 行元素 $r_{i}$ 与第 $j$ 行元素 $r_{j}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 第 $i$ 列元素 $c_{i}$ 与第 $j$ 列元素 $c_{j}$ 做一次交换，所得的矩阵被称为第一种初等矩阵。
根据惯例，以下对第一种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{j}$

[B]. $\boldsymbol{E}_{i}$

[C]. $\boldsymbol{E}_{i j}$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

显示答案

$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$

什么是初等矩阵？（C011）

问题

已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则以下关于初等矩阵的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵

[B]. $\boldsymbol{E}$ 经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[C]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[D]. $\boldsymbol{E}$ 经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

显示答案

$\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵