[线代](非齐/齐)次线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系

前言

根据题目可以知道,本文【主要】分析的是“【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”。

在这里,我首先给出我的分析结果:他们之间【没有关系】。

即:【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间没有确切的关系。如果要确定一个非齐次线性方程组究竟有多少线性无关的特解,则【可能】需要对非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的结构有更深入的研究,但这不在本文的分析范围之内。

本文将通过一个具体的例子验证我的上述判断并由此延伸,给出一个关于“【齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”——同样地,他们之间也是【没有关系】。

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[线代]对矩阵进行初等行或列变换时的一个计算技巧

前言

对矩阵进行初等行变换或者初等列变换是解线性代数题目的一个基本操作之一。通常情况下,如果我们被允许任意使用初等行变换以及初等列变换而且进行这些初等变换的目标是将一个矩阵的特定元素化成 $0$ 或者 $1$ 的话,那么,我们一般可以通过观察法得知该如何进行所需的初等变换。但是,当我们只能使用初等行变换或者只能使用初等列变换,而且做这些初等行或列变换的目标是把一个矩阵化成另一个矩阵(“另一个矩阵”中的元素可能是任意实数),不是简单地转化成 $0$ 或 $1$ 的时候,在某些情况下,就很难直接通过观察法获知该如何进行这些初等行或列变换。

在本文中,我将通过一个例子,简单介绍一种我在做题时发现的做初等行或列变换的计算技巧。

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[线代]通过把单位矩阵$E$看作一张白纸或原点来理解一些做题思路

前言

本文将通过几个例子来解释如何通过把单位矩阵 $E$ 看作一张“白纸”或“原点”的方式来形象化地理解一些做题思路——这种理解并不是严格的数学推导,但是能帮助我们化解一些题目“为什么要这么做”的疑问。

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[线代]如何判断i重特征值对应的线性无关的特征向量的个数

判断 $i$ 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数有具体的公式。例如,当 $\lambda_{a}$ 为 $i$ 重特征值时,则 $\lambda_{a} E – A$ 的秩,即 $r(\lambda_{a} E – A)$ 就是 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的特征向量的个数。

下面是我对 $r(\lambda_{a} E – A)$ 之所以能够表示 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的向量的个数的原理的理解。

下面的理解可能不够严谨,做出这样的理解只是为了方便记忆公式,仅供参考。

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[线代]分块矩阵的运算

  • 对分块矩阵进行运算时,把每个分块都看作矩阵中单个的元素处理即可。

解释:

如果把矩阵中的每个元素都看作一个分块,这样做是不会改变矩阵的运算法则的,因此,当分块中不止一个元素时,矩阵的运算法则也不会改变。

  • 对由分块矩阵构成的大矩阵进行转置的时候,不仅要在分块的程度上进行转置,而且每个分块本身也要进行转置。

解释:

如果把一个矩阵的整体看成一个分块,即一个矩阵只有一个分块,这样做是不会改变矩阵的运算法则的,自然也不会改变矩阵的转置法则。当一个矩阵中只有一个分块时,根据上面的第一条性质,这个分块可以看作是一个单独的元素,一个单独的元素转置与否都没有形式上的改变(对于单个的元素而言,其位置由第一行第一列变成第一列第一行之后,元素位置实际上未发生改变),之后,为了遵循矩阵的转置法则,这个分块内部的元素必须也进行一次转置才可以。

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[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质

名词解释

  • 行满秩

矩阵有效的行数,也就是线性无关的行的个数。

  • 列满秩

矩阵有效的列数,也就是线性无关的列的个数。

  • 满秩

一个矩阵行满秩或者列满秩(满足一个即可)就称为满秩矩阵。

这里需要注意的是,并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然,只要一个矩阵行满秩(列满秩),那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数(列数)的方阵了,自然也不会存在阶数大于其行数(列数)的非零方阵。

  • 行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩

无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵,都有如下性质:

行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。

对此我们可以这样理解:由于转置并不改变矩阵的秩,因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。

性质

若 $A$ 【行】满秩,则:

$$
R(BA)=R(B).
$$

若 $A$ 【列】满秩,则:

$$
R(AB)=R(B).
$$

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[线代]矩阵的秩与其伴随矩阵的秩之间的关系

注意:以下讨论的矩阵 $A$ 与 $A^{*}$ 都是方阵。

$n$ 阶矩阵 $A$ 的秩与其伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩之间的关系如下:

如果 $A$ 满秩,即 $r(A)=n$, 则 $A^{*}$ 也满秩,即 $r(A^{*})=n$;

如果 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^{*})=1$;

如果 $r(A) < n-1$, 则 $r(A^{*})=0$.

也就是说,随着原矩阵秩的减小,其伴随矩阵的秩会出现“断崖式”的快速下降。

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