标签： 高等数学基础

一、题目

已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{~d} z$ $=$ $\left(a y-x^{2}\right) \mathrm{~d} x$ $+$ $\left(a x-y^{2}\right) \mathrm{~d} y$, $(a>0)$ 则函数 $f(x, y)$

难度评级：

继续阅读“通过全微分确定二元函数的非条件极值”

一、题目

设 $f(x)$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是

难度评级：

继续阅读“变上限积分一定可导吗？”

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将证明“导函数连续，则原函数一定可导”这一定理。

继续阅读“证明：导函数连续则原函数一定可导”

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$, 求二重积分 $I$ $=$ $\iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$.

难度评级：

继续阅读“转为极坐标系后，怎么确定新的积分上下限？”

一、前言

通过本文，荒原之梦考研网将带你一起搞明白如下这类问题：

*如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 没有零点，那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点？

**如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点，那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点？

继续阅读“通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系”

一、题目

已知，方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$ 满足条件 $y(0)=0$ 和 $y^{\prime}(0)=1$. 则该方程的特解为（ ）

难度评级：

继续阅读“特殊条件约束下的一般非齐次二阶线性微分方程特解的求解”

一、题目

计算下面这个式子的值：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{-4}^{0} – \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{0}^{1} + \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{1}^{4}
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读“计算复杂但有规律的式子，要学会化繁为简，使计算过程充分清晰”

一、前言

曲率圆也称为“密切圆”，曲率圆描述了曲线在某一点处的弯曲程度。有关曲率圆的一些基础内容，可以查看荒原之梦考研数学的《什么是曲率？什么是曲率圆？》这篇文章。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出计算曲线上某点处曲率圆方程的步骤和公式。

继续阅读“如何求解曲率圆的方程？”