荒原之梦 - 第90页共241页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

问题

根据绝对收敛的结论，若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必发散

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛

[C]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 必收敛

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 可能收敛

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛

问题

已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 条件收敛？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[D]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

绝对收敛的定义（B025）

问题

已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 绝对收敛？

选项

[A]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 发散

[B]. 无法确定

[C]. 收敛

答案

收敛

正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 发散

[B]. 无法确定

[C]. 收敛

答案

无法确定

正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 无法确定

[B]. 收敛

[C]. 发散

答案

发散

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 发散

[B]. 收敛

[C]. 无法判断

答案

收敛

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 发散

[B]. 无法判断

[C]. 收敛

答案

无法判断

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 收敛

[B]. 发散

[C]. 无法判断

答案

发散

正项级数比较判别法的极限形式：$0$ $<$ $A$ $\leqslant$ $+\infty$（B024）

问题

已知，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均为正项级数，且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $=$ $A$ $($ $v_{n}$ $\neq$ $0$ $)$.

若 $0$ $<$ $A$ $\leqslant$ $+\infty$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[B]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[C]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[D]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

答案

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

正项级数比较判别法的极限形式：$0$ $\leqslant$ $A$ $<$ $+\infty$（B024）

问题

已知，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均为正项级数，且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $=$ $A$ $($ $v_{n}$ $\neq$ $0$ $)$.

若 $0$ $\leqslant$ $A$ $<$ $+\infty$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[B]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[C]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[D]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

答案

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

正项级数敛散性的比较判别法（B024）

问题

已知 $0$ $\leqslant$ $u_{n}$ $\leqslant$ $v_{n}$, 则，以下关于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[B].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛

[C].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

[D].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

答案

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

级数 $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于级数 $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>1, \\ 发散, & p \leqslant 1. \end{array}\right.$

[B]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p \geqslant 1, \\ 发散, & p \leqslant 1. \end{array}\right.$

[C]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>1, \\ 发散, & p < 1. \end{array}\right.$

[D]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>0, \\ 发散, & p \leqslant 0. \end{array}\right.$

答案

$\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>1, \\ 发散, & p \leqslant 1. \end{array}\right.$

$p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p \leqslant 1 \text. \end{array}\right.$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ $\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p < 1 \text. \end{array}\right.$

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p \geqslant 1, \\ 发散, p \leqslant 1 \text. \end{array}\right.$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p = 1 \text. \end{array}\right.$

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p \leqslant 1 \text. \end{array}\right.$

等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| \geq 1. \end{array}\right.$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| \leq 1, \\ 发散, & |q| \geq 1. \end{array}\right.$

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| > 1. \end{array}\right.$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| = 1. \end{array}\right.$

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| \geq 1. \end{array}\right.$