线性代数基础归档 - 第9页共18页

初等矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第一种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}^{-1}}$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

答案

$\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{cyan}{1} & 0\\ \textcolor{cyan}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{cyan}{1} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}$

拓展资料

第一种初等矩阵

初等矩阵的逆矩阵是否还是初等矩阵？（C011）

问题

根据初等矩阵的性质，初等矩阵的逆矩阵是否还是初等矩阵？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵

初等矩阵的可逆性（C011）

问题

根据初等矩阵的性质，初等矩阵都可逆吗？

选项

[A]. 初等矩阵不可逆

[B]. 初等矩阵均可逆

[C]. 部分初等矩阵可逆

答案

初等矩阵均可逆

初等变换与初等矩阵的关系之：“右列”原则（C011）

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次初等列变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的哪边乘以一个相应的 $m$ 阶初等矩阵？

选项

[A]. 左边或者右边

[B]. 左右两边

[C]. 左边

[D]. 右边

答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等列变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的右边乘以相应的 $\textcolor{cyan}{n}$ 阶初等矩阵

初等变换与初等矩阵的关系之：“左行”原则（C011）

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次初等行变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的哪边乘以一个相应的 $m$ 阶初等矩阵？

选项

[A]. 右边

[B]. 左边

[C]. 左边或者右边

[D]. 左右两边

答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等行变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的左边乘以相应的 $\textcolor{cyan}{m}$ 阶初等矩阵

第三种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 行元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 行上，或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 列元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 列上，所得的矩阵被称为第三种初等矩阵。
根据惯例，以下对第三种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{j}(k)$

[B]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[C]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[D]. $k \boldsymbol{E}_{i j}$

答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{cyan}{j}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} r_{\textcolor{orange}{i}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}(\textcolor{tan}{k})$

第二种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 乘以非零常数 $\textcolor{tan}{k}$, 所得的矩阵被称为第二种初等矩阵。
根据惯例，以下对第二种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[B]. $k \boldsymbol{E}_{i}$

[C]. $\boldsymbol{E}_{i}$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i}}(\textcolor{cyan}{k})$

第一种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 与第 $j$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{j}}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 与第 $j$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{j}}$ 做一次交换，所得的矩阵被称为第一种初等矩阵。
根据惯例，以下对第一种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{i j}$

[B]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[C]. $\boldsymbol{E}_{j}$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i}$

答案

$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$

什么是初等矩阵？（C011）

问题

已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则以下关于初等矩阵的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵

[B]. $\boldsymbol{E}$ 经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[C]. $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[D]. $\boldsymbol{E}$ 经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

答案

$\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等行变换和初等列变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，以下说法中正确的是哪个？

选项

[A]. 只有初等列变换是初等变换

[B]. 只有初等行变换是初等变换

[C]. 初等行变换和初等列变换都是初等变换

[D]. 同时进行初等行变换和初等列变换才是初等变换

答案

初等行变换和初等列变换都是初等变换

矩阵的第三种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，把矩阵中某一行或列的所有元素的常数 $k$ 倍加到该矩阵的另一行或列上，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 不是

[B]. 是

答案

是

继续阅读

矩阵的第二种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，用非零常数 $k$ 乘以矩阵中某一行或者某一列的所有元素，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 是

[B]. 不是

答案

是

继续阅读

矩阵的第一种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义，对调矩阵的两行或者两列，是否是一种初等变换？

选项

[A]. 不是

[B]. 是

答案

是

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分块矩阵求逆法：下三角形式（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素非全为零的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{O} \\ \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \end{array}\right)$

分块矩阵求逆法：上三角形式（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$, $\boldsymbol{\textcolor{orange}{B}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{C}}$ 是元素非全为零的方阵，$\boldsymbol{\textcolor{orange}{O}}$ 是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right)^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{-1} & \textcolor{red}{-}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}^{\textcolor{red}{-1}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{C}} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\textcolor{red}{-1}} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{-1} \end{array}\right)$