考研数学 - 第86页共147页

周期为 $2 \pi$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，并且 $f(x)$ 还是一个偶函数：$f(x)$ $=$ $f(-x)$.

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{2}{a_{0}}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin n x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

狄利克雷收敛定理：在间断点 $x_{0}$ 处的收敛函数（B027）

问题

已知，函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数, 并且，函数 $f(x)$ 的傅里叶级数在区间 $[-l, l]$ 上收敛。

那么，根据迪利克雷收敛定理，函数 $f(x)$ 在间断点 $x_{0}$ 处的收敛函数是什么？

选项

[A]. $\frac{1}{2}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $-$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

[B]. $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$

[C]. $\frac{1}{3}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

[D]. $\frac{1}{2}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

答案

$\frac{1}{2}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

狄利克雷收敛定理：在连续点 $x_{0}$ 处的收敛函数（B027）

问题

已知，函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数, 并且，函数 $f(x)$ 的傅里叶级数在区间 $[-l, l]$ 上收敛。

那么，根据迪利克雷收敛定理，函数 $f(x)$ 在连续点 $x_{0}$ 处的收敛函数是什么？

选项

[A]. $\frac{1}{f(x)}$

[B]. $\frac{f(x)}{2}$

[C]. $f(x)$

[D]. $-f(x)$

答案

$f(x)$

狄利克雷收敛定理：收敛的条件二（B027）

问题

已知，函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数, 若要使函数 $f(x)$ 的傅里叶级数在区间 $[-l, l]$ 上收敛，需要同时满足两个条件，下列哪个选项是要满足的其中一个条件？

选项

[A]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个拐点

[B]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上有无限个极值点

[C]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个最值点

[D]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个极值点

答案

函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个极值点

狄利克雷收敛定理：收敛的条件一（B027）

问题

选项

[A]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个第一类间断点外都连续

[B]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除无限个第一类间断点外都连续

[C]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个第二类间断点外都连续

[D]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个间断点外都连续

答案

函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个第一类间断点外都连续

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{\pi}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{\pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{\frac{-l}{2}}^{\frac{l}{2}}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos n \pi l x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{\pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$.

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，在区间 $[-l, l]$ 上可积。并且，函数 $f(x)$ 能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $2$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $)$

答案

$f(x)$ $\sim$

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

周期为 $2 \pi$ 的一般函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\pi$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$

周期为 $2 \pi$ 的一般函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\pi$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$

周期为 $2 \pi$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，并且，函数 $f(x)$ 能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $2$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $\frac{a_{n}}{2}$ $\cos n x$ $+$ $\frac{b_{n}}{2}$ $\sin n x$ $)$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

函数 $(1+x)^{a}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $(1+x)^{a}$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $-$ $a x$ $-$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $-$ $\cdots$ $-$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[B]. $(1+x)^{a}$ $=$ $x$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[C]. $(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[D]. $(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $a x$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n+1}$ $+$ $\cdots$

答案

$(1+x)^{a}$ $=$

$1$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1)$

函数 $\ln (1+x)$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\ln (1+x)$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\ln (1+x)$ $=$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\ln (1+x)$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\ln (1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

[D]. $\ln (1+x)$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x}{2}$ $+$ $\frac{x^{2}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

答案

$\ln (1+x)$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1]$

函数 $\cos x$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\cos x$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\cos x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $-$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $+$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n+1}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\cos x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

[D]. $\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{2}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

答案

$\cos x$ $=$

$1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$

函数 $\sin x$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\sin x$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $-$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n+1}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\sin x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$

[D]. $\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

答案

$\sin x$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$