分类： 考研数学

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

   答 案   

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根，$k$ $=$ $0$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的重根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

   答 案   

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的单根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $\frac{1}{x}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

   答 案   

$y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{a}}$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

   答 案   

$y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

又已知：
1. 该方程对应的齐次方程的通解为 $Y(x)$;
2. 用待定系数法求出的该非齐次方程的特解为 $y^{*}(x)$.

则，该非齐次方程的通解为多少？

选项

[A].   $Y(x)$ $\times$ $y^{*}(x)$

[B].   $Y(x)$ $-$ $y^{*}(x)$

[C].   $Y(x)$ $+$ $y^{*}(x)$

[D].   $\frac{Y(x)}{y^{*}(x)}$

   答 案   

$Y(x)$ $+$ $y^{*}(x)$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数.

对应的特征方程为：

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ (复根) 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

[C].   $y(x)$ $=$ $\beta$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos x$ $+$ $C_{2}$ $\sin x$ $)$

[D].   $y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

   答 案   

$y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数.

则，该方程的特征方程是多少？

选项

[A].   $\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

[B].   $\frac{1}{\lambda^{2}}$ $+$ $p$ $\frac{1}{\lambda}$ $+$ $q$ $=$ $0$

[C].   $\lambda^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

[D].   $\lambda^{2}$ $+$ $\lambda$ $+$ $=$ $0$

   答 案   

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为：

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 $\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[C].   $y(x)$ $=$ $\lambda_{1}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{x}$

[D].   $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

   答 案   

$y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为：

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 为互异实根时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $\lambda_{1}$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{x}$ $+$ $\lambda_{2}$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $C$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

[C].   $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[D].   $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

   答 案   

$y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

问题

已知，$M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$ 为全微分方程：$M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\partial M}{\partial y}$ $=$ $\frac{\partial N}{\partial x}$

则，该全微分方程的通解 $?$

选项

[A].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{x}^{x_{0}}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{y}^{y_{0}}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

[B].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{x_{0}}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{y_{0}}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

[C].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{x_{0}}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{y_{0}}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

[D].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{0}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

   答 案   

$u(x, y)$ $=$ $\int_{x_{0}}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{y_{0}}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

问题

已知，有伯努利方程：$y^{\prime}$ $+$ $p(x)$ $y$ $=$ $q(x)$ $y^{n}$, 其中 $n$ $\neq$ $0$, $1$.

则，若令 $z$ $=$ $y^{1-n}$, 上述伯努利方程方程，可以转化为以下哪个方程？

选项

[A].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1-n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $q(x)$

[B].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1-n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $\frac{1}{q(x)}$

[C].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1+n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1+n)$ $q(x)$

[D].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $-$ $(1+n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $q(x)$

   答 案   

伯努利方程可以转化成一阶线性微分方程：

$\frac{1}{1-n}$ $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $p(x)$ $z$ $=$ $q(x)$ $\Rightarrow$

$\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1-n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $q(x)$

问题

已知，$y^{\prime}$ $+$ $p(x) y$ $=$ $q(x)$ 是一阶线性微分方程，则，根据该类型方程的求解公式，$y$ $=$ $?$

选项

[A].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int q(x) d x}$

[B].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) d x}$

[C].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int \rho(x) d x}$

[D].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\rho(x)}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int \rho(x) d x}$

   答 案   

$y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int \rho(x) d x}$

问题

若令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则齐次方程 $y^{\prime}$ $=$ $f (\frac{y}{x} )$ 可以转化成什么？

选项

[A].   $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\int$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[B].   $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[C].   $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[D].   $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)+u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

   答 案   

令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则 $y$ $=$ $u x$, $y^{\prime}$ $=$ $u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$, 于是原方程可化为：

$u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $f(u)$ $\Rightarrow$

$\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} x}{x}$ $\Rightarrow$

$\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

求出积分后, 再用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.

问题

已知：

$f_{1}(x)$ $g_{1}(y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $f_{2}(x)$ $g_{2}(y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

是一个可分离变量的方程，则以下对该方程的变量分离结果，正确的是哪个？

选项

[A].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{1}(y)}{g_{2}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

[B].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $1$

[C].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

[D].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

   答 案   

两边同除 $g_{1}(y)$ $f_{2}(x)$ $\neq$ $0$, 得：

$\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$.

之后，两边积分即可。

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数，并且，其基于奇延拓的傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sec \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

   答 案   

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$