荒原之梦 - 第78页共240页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

一个复合函数求二阶偏导的例题：$u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

一、题目

已知，有 $u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$, $r$ $=$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $>$ $0$.

并且已知函数 $u(x, y)$ 有二阶连续的偏导数，要求计算：

$\frac{\partial u}{\partial x}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}$、$\frac{\partial u}{\partial y}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}$.

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伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{A B})^{*}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$

[B]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$

[C]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}$

[D]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$

答案

$(\boldsymbol{A B})^{\textcolor{cyan}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{cyan}{*}} \boldsymbol{A}^{\textcolor{cyan}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$

伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[B]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n+1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[C]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[D]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$

答案

$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{\textcolor{red}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{\textcolor{orange}{n-1}}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n+1}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n}$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{\textcolor{orange}{n-1}}$

伴随矩阵的计算（C009）

问题

已知，有矩阵 $Z$ $=$ $\begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} \\ a_{2 1} & a_{2 2} \end{bmatrix}$, 且 $M_{i j}$ 表示该矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式，$A_{i j}$ 表示该矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的代数余子式。
则，该矩阵的伴随矩阵 $Z^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} M_{1 1} & M_{1 2} \\ M_{2 1} & M_{2 2} \end{bmatrix}$

[B]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} A_{1 1} & A_{1 2} \\ A_{2 1} & A_{2 2} \end{bmatrix}$

[C]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} M_{1 1} & M_{2 1} \\ M_{1 2} & M_{2 2} \end{bmatrix}$

[D]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} A_{1 1} & A_{2 1} \\ A_{1 2} & A_{2 2} \end{bmatrix}$

答案

$Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{red}{A}_{\textcolor{orange}{1} \textcolor{orange}{1}} & \textcolor{red}{A}_{\textcolor{cyan}{2} \textcolor{cyan}{1}} \\ \textcolor{red}{A}_{\textcolor{orange}{1} \textcolor{orange}{2}} & \textcolor{red}{A}_{\textcolor{cyan}{2} \textcolor{cyan}{2}} \end{bmatrix}$

伴随矩阵的表示符号（C009）

问题

一般情况下，用什么符号表示伴随矩阵？

选项

[A]. $A^{-}$

[B]. $A^{\top}$

[C]. $A^{*}$

[D]. $A^{+}$

答案

$A^{*}$

生成伴随矩阵需要经过转置运算吗（C009）

问题

生成伴随矩阵的过程中需要经过转置运算吗？

选项

[A]. 需要

[B]. 不需要

答案

需要

构成伴随矩阵的元素是什么？（C009）

问题

构成原矩阵的伴随矩阵的元素被称为原矩阵的什么？

选项

[A]. 代数余子式 $A_{i j}$

[B]. 余子式 $M_{i j}$

答案

代数余子式 $A_{i j}$

余子式的定义；
代数余子式的定义

生成伴随矩阵的前提条件（C009）

问题

以下哪个矩阵具有伴随矩阵？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

答案

只有方阵（行数和列数相等的矩阵）才有伴随矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\sin [2 \arcsin y]$ 等于多少？

一、题目

$\textcolor{orange}{\sin [2 \arcsin y]}$ $=$ $?$

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矩阵的运算规律：$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

[B]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ $+$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

[D]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$

答案

$(\boldsymbol{\textcolor{red}{A}} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}})^{\mathrm{\textcolor{orange}{T}}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\mathrm{\textcolor{orange}{T}}}$ $\boldsymbol{\textcolor{red}{A}}^{\mathrm{\textcolor{orange}{T}}}$

矩阵的运算规律：$(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

[B]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\frac{1}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

[D]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

答案

$(\textcolor{orange}{\lambda} \boldsymbol{A})^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$

矩阵的运算规律：$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ $-$ $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$

[B]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$

[C]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$

[D]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$

答案

$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{\textcolor{orange}{T}}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{orange}{T}}}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{\mathrm{\textcolor{orange}{T}}}$

矩阵的运算规律：$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{orange}{T}}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

矩阵的转置（C008）

问题

对下面的矩阵进行矩阵转置运算，正确的是哪个？
$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

答案

$\begin{bmatrix} \textcolor{orange}{1} & \textcolor{cyan}{2}\\ \textcolor{orange}{3} & \textcolor{cyan}{4} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{\top}}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{3}\\ \textcolor{cyan}{2} & \textcolor{cyan}{4} \end{bmatrix}$