函数垂直渐近线的定义(B005)

问题

根据【函数垂直渐近线】的定义,以下哪个选项可以说明 $x$ $=$ $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的垂直渐近线?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow a{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$

[B].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $a$

[C].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$

[D].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $- \infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $+ \infty$


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$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $=$ $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的垂直渐近线.


輔助圖像

函数垂直渐近线的定义 | 荒原之梦
图 01. 图中红色曲线表示函数 $f(x)$ $=$ $\tan x$ 的图像,两条紫色虚线分别是过点 $(\frac{- \pi}{2}, 0)$ 和点 $(\frac{\pi}{2}, 0)$ 的函数 $f(x)$ 的垂直渐近线.
继续阅读“函数垂直渐近线的定义(B005)”

函数水平渐近线的定义(B005)

问题

根据【函数水平渐近线】的定义,以下哪个选项可以说明 $y$ $=$ $a$ 是函数 $f(x)$ 的水平渐近线?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $<$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $>$ $a$

[B].   $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$

[C].   $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $\neq$ $a$ 且 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $\neq$ $a$

[D].   $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $\leqslant$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $\geqslant$ $a$


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$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $y$ $=$ $a$ 是函数 $f(x)$ 的水平渐近线


輔助圖像

函数水平渐近线的定义 | 荒原之梦
图 01. 图中红色曲线表示函数 $f(x)$ $=$ $e^{x}$ $-$ $1$, 紫色虚线表示函数 $f(x)$ 的水平渐近线 $y$ $=$ $-1$.
继续阅读“函数水平渐近线的定义(B005)”

拐点存在的第二充分条件(B005)

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有三阶导函数,则以下哪个选项是点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的拐点的一个充分条件?

选项

[A].   $f”(x_{0})$ $\neq$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $=$ $0$

[B].   $f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $=$ $0$

[C].   $f”(x_{0})$ $=$ $0$ 或 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$

[D].   $f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$


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$f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.


輔助圖像

拐点存在的第二充分条件 | 荒原之梦
图 01. 图中红色曲线表示函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$ 的图像,蓝色曲线表示函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f”(x)$ $=$ $- \sin x$ 的图像,紫色曲线表示函数 $f(x)$ 的三阶导函数 $f”'(x)$ $=$ $- \cos x$ 的图像. 其中,坐标点 $(0,0)$ 为函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$ 的一个拐点.

拐点存在的第一充分条件(B005)

问题

下面哪个选项是判断函数 $f(x)$ 上的点 $x_{0}$ 为【拐点】的一个【充分条件】?

选项

[A].   $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内同号

[B].   $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内异号

[C].   $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内都大于零

[D].   $f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内都小于零


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如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有 $f”(x_{0})$ $=$ $0$, 或者,虽然 $f”(x_{0})$ 不存在,但函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续,那么,如果再可知,$f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内异号,则可以判断,坐标点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.


輔助圖像

拐点存在的第一充分条件 | 荒原之梦
图 01. 图中红色曲线表示函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$ 的图像,蓝色曲线表示函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f”(x)$ $=$ $- \sin x$ 的图像. 其中,坐标原点 $(0, 0)$ 为函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$ 的一个拐点.

曲线拐点的定义(B005)

问题

根据【曲线拐点的定义】,下面哪个选项可以说明函数 $f(x)$ 定义域上的点 $x_{0}$ 对应着该函数的一个拐点?

选项

[A].   函数的正负性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化

[B].   函数的增减性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化

[C].   函数的凹凸性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化

[D].   函数的大小性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化


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如果函数 $f(x)$ 的【凹凸】性在过点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 的时候发生了改变,则称点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 是该函数的一个拐点.


說明

关于什么是拐点,可以参考荒原之梦网的这篇文章:《什么是驻点和拐点?


輔助圖像

曲线拐点的定义(B005)| 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示原函数 $f(x)$ $=$ $x^{3}$ $-$ $3x^{2}$ $+$ $1$ 的图像,蓝色直线表示原函数的二阶导函数 $f”(x)$ $=$ $6x$ $-$ $6$ 的图像,$a$ 点是使 $f”(x)$ $=$ $0$ 的点,该点坐标为 $(1, 0)$, $b$ 点是 $f(x)$ 的拐点,该点坐标为 $(1, -1)$. 通过图中的紫色虚线可以看出,$a$ 点和 $b$ 横坐标都是 $x$ $=$ $1$.

曲线凹凸性的定义(B005)

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $U$ 上连续,$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 为区间 $U$ 上的任意两点,则根据【曲线凹凸性的定义】,以下哪些选项是正确的?

选项

[A].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.

[B].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.

[C].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.

[D].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.


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$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.


輔助圖像

曲线凹凸性的定义 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示函数 $f(x)$ $=$ $(x+1)^{3}$ $+$ $x^{2}$ 的图像,可以看到,图中存在凹凸区间。

函数极值不存在的充分条件(B005)

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导,且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值【不存在】的一个【充分条件】?

选项

[A].   $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边不变号

[B].   $f'(x_{0})$ $\neq$ $0$

[C].   $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边变号

[D].   $f'(x)$ 不存在


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若当 $x$ $\in$ $\mathring{U(x_{0})}$ 时,$f'(x)$ 不变号,则表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处一定不取得极值.


輔助圖像

函数极值不存在的充分条件 | 荒原之梦
图 01. 图中红色直线表示函数 $f(x)$ $=$ $1$ 的图像,可以看到,该函数并没有极值.

函数极值存在的第二充分条件(B005)

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导,$f'(x_{0})$ $=$ $0$, 且 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ 存在,则以下哪个选项是函数极值存在的一个【充分条件】?

选项

[A].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$

[B].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $1$

[C].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ 不存在

[D].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 或 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$


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当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$ 的时候,函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值.
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 的时候,函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值.

注意:若 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$, 则极值不存在,因此,只有当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$, 极值才【有可能】存在.

函数极值存在的第一充分条件(B005)

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导,且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值存在的一个【充分条件】?

选项

[A].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧都不存在

[B].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧始终等于零

[C].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧不发生变化

[D].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化


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函数极值存在的第一充分条件

简明版:
当 $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化的时候,就表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值.

标准版:
若 $x$ $\in$ $(x_{0} – \sigma, x_{0})$ 时,$f'(x)$ $>$ $0$ $(<0)$, 且 $x$ $\in$ $(x_{0}, x_{0} + \sigma)$ 时,$f'(x)$ $<$ $0$ $(>0)$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大(小)值. 其中,$\sigma$ $>$ $0$.

函数极值存在的必要条件是什么?(B005)

问题

下面哪个选项是函数极值存在的【必要条件】?

选项

[A].   $f'(x_{0})$ $\neq$ $0$

[B].   $f'(x_{0})$ $=$ $0$

[C].   $f'(x_{0})$ $\leqslant$ $0$

[D].   $f'(x_{0})$ $\geqslant$ $0$


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$f'(x_{0})$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极值.
$f(x_{0})$ 是一个极值 $\color{Green}{\nRightarrow}$ $f'(x_{0})$ $=$ $0$.

说明:由必要条件可以推出结论,但由结论不一定能推出必要条件.

于是可知,$f'(x_{0})$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值的一个必要条件.

关于必要条件,可以查看荒原之梦网的这篇文章:《什么是必要条件?

根据定义判断函数极值(B005)

问题

已知,函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个领域 $U(x_{0})$ 内有定义,$x$ 表示点 $x_{0}$ 的去心邻域 $\mathring{U_{x_{0}}}$ 内的任意一点.
那么,根据【函数极值的定义】,下面哪些选项是正确的?

选项

[A].   $f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值

[B].   $f(x)$ $\leqslant$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值

[C].   $f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[D].   $f(x)$ $\geqslant$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[E].   $f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值.

[F].   $f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值


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$f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值.
$f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值.

函数的极值就是最大值吗?(B005)

问题

以下关于【函数极值】的说法中,正确的是哪个?

选项

[A].   函数的极值就是极大值

[B].   函数的极值包括极大值和极小值

[C].   函数的极值就是极小值

[D].   函数的极值就是最大值


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函数的极值包括“极大值”和“极小值”.

关于函数极值的更多内容,可以参考荒原之梦网的这篇文章:《什么是极值点和最值点?

$\cot x$ 的麦克劳林公式(B004)

问题

$\cot x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?

说明:

  1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(0, \pi)$
  2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”,关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章:《常见的伯努利数汇总》.

    选项

    [A].   $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

    [B].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n-1} B_{2n}}{(2n-1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

    [C].   $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n+1} B_{n}}{(2n+1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

    [D].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$


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    $\cot x$ 的麦克劳林公式

    完整版:

    $\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

    求和版:

    $\cot x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

    简略版:

    $\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像:
cot x 的麦克劳林公式 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示 $\cot x$ 的图像,蓝色曲线表示 $\cot x$ 对应的麦克劳林公式前两项的图像,可以看到,二者在 $x$ $=$ $0$ 附近几乎完全重合.

常用的麦克劳林公式:

$\csc x$ 的麦克劳林公式(B004)

问题

$\csc x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?

说明:

  1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(0, \pi)$
  2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”,关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章:《常见的伯努利数汇总》.

    选项

    [A].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$

    [B].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}+1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

    [C].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{306}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

    [D].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$


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    $\csc x$ 的麦克劳林公式

    完整版:

    $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

    求和版:

    $\csc x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

    简略版:

    $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像:
csc x 的麦克劳林公式 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示 $\csc x$ 的图像,蓝色曲线表示 $\csc x$ 对应的麦克劳林公式前两项的图像,可以看到,二者在 $x$ $=$ $0$ 附近几乎完全重合.

常用的麦克劳林公式:

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