荒原之梦 - 第72页共241页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

$\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系（C012）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

答案

乘以一个初等矩阵相当于做了初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩，因此，一定有：

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{BA}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系（C012）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

答案

乘以一个初等矩阵相当于做了初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩，因此，一定有：

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{AB}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ 和 $\min \{ \mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \}$ 的关系（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{orange}{\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}}$ 的大小关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $<$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $>$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

答案

$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{yellow}{\min} \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ 的取值范围（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})}$ 的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B]. $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C]. $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

答案

$\textcolor{cyan}{\max} \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 的关系（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 之间存在怎样的关系？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

答案

$\mathrm{r} \textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}+\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\textcolor{yellow}{)}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\mathrm{r}\textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}\textcolor{yellow}{)}$ $+$ $\mathrm{r}\textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\textcolor{yellow}{)}$

将矩阵乘以其转置矩阵是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，$\textcolor{cyan}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})}$ 和 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})}$ 之间存在怎样的关系？

选项

[A]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[B]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[C]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[D]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

答案

$\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{A^{\top}}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\textcolor{yellow}{\boldsymbol{A^{\top}}}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$

将矩阵乘以一个常数是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，已知 $\textcolor{cyan}{k}$ 为非零常数，则 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})}$ 之间是什么关系？

选项

[A]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[B]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[C]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[D]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

答案

$\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $=$ $\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\textcolor{cyan}{k} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$

转置运算是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，对矩阵做转置运算是否会改变矩阵的秩？

选项

[A]. 不会

[B]. 可能会

[C]. 会

答案

不会

$\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $=$ $\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}^{\textcolor{cyan}{\top}}})$

$r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ 的取值范围（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下有关 $\textcolor{orange}{r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)}$ 的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $0$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\max \{m, n\}$

[B]. $0$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\min \{m, n\}$

[C]. $0$ $<$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $<$ $\min \{m, n\}$

[D]. $1$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\min \{m, n\}$

答案

$\textcolor{cyan}{0}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{orange}{r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{cyan}{\min \{m, n\}}$

初等行变换对矩阵行/列向量组相关性的影响（C012）

问题

对矩阵进行初等行变换，是否会影响矩阵行向量组之间或者列向量组之间的线性相关性？

选项

[A]. 初等行变换会影响列向量组的相关性

[B]. 初等行变换对行向量组的相关性无影响

[C]. 初等行变换对列向量组的相关性无影响

[D]. 初等行变换会影响行向量组的相关性

答案

初等行变换对行或列向量组的线性相关性都无影响

原因：对矩阵做初等行变换时，原本在同一列的元素，在行变换发生之后，仍然会在该列中，只不过在该列中的位置会产生变化。

初等变换对矩阵秩的影响（C012）

问题

对矩阵做初等变换是否会影响该矩阵的行秩或者列秩？

选项

[A]. 初等行变换会影响行秩

[B]. 会影响

[C]. 不影响

[D]. 初等列变换会影响行秩

答案

无论是初等行变换还是初等列变换，都不会影响矩阵的秩。

而且，由于矩阵的行秩和列秩一定相等，因此，换种说法就是，初等变换不会影响矩阵的行秩或列秩。

矩阵的行秩和列秩（C012）

问题

矩阵的秩分为行秩和列秩两种，那么，行秩和列秩之间有什么关系？

选项

[A]. 行秩 $<$ 列秩

[B]. 行秩 $>$ 列秩

[C]. 行秩 $=$ 列秩

[D]. 行秩 $\neq$ 列秩

答案

行秩 $\textcolor{red}{=}$ 列秩

矩阵的行秩和列秩是相等的，统称为“秩”——也就是说，对于一个矩阵而言，其秩对应的值是唯一的。

矩阵的秩与相关推论

一、定义

有关矩阵秩的标准定义如下：

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵，如果 $\boldsymbol{A}$ 中存在 $\textcolor{orange}{r}$ 阶子式不为 $\textcolor{white}{0}$, 而所有的 $\textcolor{orange}{r}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{1}$ 阶子式全为 $\textcolor{white}{0}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\textcolor{orange}{r}$, 记作 $r(\boldsymbol{A})$. 同时，规定零矩阵的秩为 $0$.

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矩阵秩的定义（C012）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则，关于矩阵秩的定义，以下说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式为零

[B]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为零

[C]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式都不为零

[D]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ 阶子式都不为零

答案

存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $\textcolor{red}{r}$ 阶子式不为零，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $\textcolor{red}{r}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{red}{1}$ 阶子式全为零