2023年考研数二第17题解析:等式挖掘、一阶线性微分方程、极值

一、题目题目 - 荒原之梦

设曲线 $\mathrm{L}: \ y=y(x) \ (x>e)$ 经过点 $\left(e^{2}, 0\right), \mathrm{L}$ 上任一点 $P (x, y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y(x)$.

(2) 在 $\mathrm{L}$ 上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.

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2023年考研数二第16题解析:非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目题目 - 荒原之梦

已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数。

若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$. 则, $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=?$

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用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E

一、前言 前言 - 荒原之梦

根据我目前掌握的信息,中文互联网上至少从 2012 年开始,就有人询问下面这类线性代数问题:

§ 如果 $AB=A$, 那么可以得出 $B=E$ 吗?

§ 为什么由 $AB = A$ 不可以推出 $B=E$?

虽然此后每隔几年都有人问上面这类问题,但是得到的解释要么涉及高等代数的概念,要么就仅仅是搬出来教材上给定的结论,直接说:$AB = A$ $\nRightarrow$ $B = E$——

上面这类解释其实都没能回答下面这两个核心疑问:

  1. 为什么由 $AB=A$ 不一定能推出 $B=E$?
  2. $B$ 应该是一个怎样的矩阵?

在本文中,荒原之梦网就利用最基本的线性代数知识,解释明白上面这两个疑问,大家继续往下看哦。

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2023年考研数二第10题解析:线性相关、齐次线性方程组

一、题目题目 - 荒原之梦

已知向量 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性表示,也可由 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性表示, 则 $\gamma = (\quad)$

(A) $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in R$

(C) $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in R$

(B) $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in R$

(D) $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in R$

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如何求解曲率圆的方程?

一、前言 前言 - 荒原之梦

曲率圆也称为“密切圆”,曲率圆描述了曲线在某一点处的弯曲程度。有关曲率圆的一些基础内容,可以查看荒原之梦考研数学的《什么是曲率?什么是曲率圆?》这篇文章。

在本文中,荒原之梦考研数学将给出计算曲线上某点处曲率圆方程的步骤和公式。

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2023年考研数二第09题解析:二次型的规范型

一、题目题目 - 荒原之梦

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为 ( )

(A) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$

(C) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-4 y_{3}^{2}$

(B) $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$

(D) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$

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