荒原之梦

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 性 相 关，则以下说法 正 确 的是哪个？

选项

[A].   任意一个向量都可由其余向量线性表示

[B].   只能存在一个向量可由其余向量线性表示

[C].   至少存在一个向量可由其余向量线性表示

[D].   不存在任何一个可由其余向量线性表示的向量

   答 案   

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 性 相 关
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
至 少 存 在 一个向量可由 其 余 向量 线 性 表 示

问题

已知，有两个向量 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 是 线 性 相 关 的，则在 几 何 意 义 上，这两个向量是否 共 线 ？

选项

[A].   不确定

[B].   不是

[C].   是

   答 案   

是

$\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 线性 相 关 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 共 线

问题

已知，有两个向量 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 是 线 性 相 关 的，则这两个向量 对 应 的 分 量 是否 成 比 例 ？

选项

[A].   不确定

[B].   不是

[C].   是

   答 案   

是

$\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 线性 相 关 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ 对应的分量 成 比 例

问题

根据向量线性相关性的定义， 非 零 向 量 $(1, 1, 0)$ 或者 $(1, 2, 3)^{\top}$ 是否是 线 性 相 关 的？

选项

[A].   不确定

[B].   是

[C].   不是

   答 案   

不 是 。

由定义可知， 单 个 非 零 向 量 是 线 性 无 关 的。

问题

根据向量线性相关性的定义， 零 向 量 $(0, 0, 0)$ 或者 $(0, 0, 0)^{\top}$ 是否是 线 性 无 关 的？

选项

[A].   不是

[B].   不确定

[C].   是

   答 案   

不 是 。

由定义可知， 单 个 零 向 量 是 线 性 相 关 的。

问题

已知，存在定向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}$, 以及实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$.

且有如下等式：
$\textcolor{orange}{k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$.

那么，当实数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 满足 什 么 条 件 时，可以说明向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 是 线 性 无 关 的？

选项

[A].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为负数

[B].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为 $0$

[C].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全为 $0$

[D].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全部大于或等于 $0$

   答 案   

$\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 全 为 $\textcolor{yellow}{0}$

问题

已知，存在定向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}$, 以及实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$.

且有如下等式：
$\textcolor{orange}{k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$.

那么，当实数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 满足 什 么 条 件 时，可以说明向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 是 线 性 相 关 的？

选项

[A].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为 $0$

[B].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全部大于或等于 $0$

[C].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为负数

[D].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全为 $0$

   答 案   

$\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 不 全 为 $\textcolor{yellow}{0}$

问题

根据向量组等价的定义，下面的说法是否正确：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 能 线 性 表 示 向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$, 则这两个向量组等价。

选项

[A].   无法确定

[B].   正确

[C].   不正确

   答 案   

题干中的说法 不 正 确 。

正 确 的表述如下：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ 能 互 相 线 性 表 示 ，则称这两个向量组 等 价 。

问题

下面的说法 是 否 正 确 ：

有两个向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}:}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}:}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{\boldsymbol{s}}}$, 如果向量组 $\boldsymbol{B}$ 中存在能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示的向量, 则称向量组 $\boldsymbol{B}$ 能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示。

选项

[A].   不正确

[B].   无法判断

[C].   正确

   答 案   

题干中的说法 不 正 确 。

正 确 的说法如下：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 中的 每 个 向 量 都能由向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ 线性表示, 则称向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 能由向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ 线 性 表 示 。

问题

已知，有向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 和向量 $\textcolor{red}{\boldsymbol{\beta}}$, 如果存在一组数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}, \textcolor{cyan}{k_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使下面哪个式子成立，就可以说明向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线 性 表 示 （线性表出）？

选项

[A].   $\boldsymbol{\beta}$ $<$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[B].   $\boldsymbol{\beta}$ $=$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $\times$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[C].   $\boldsymbol{\beta}$ $=$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[D].   $\boldsymbol{\beta}$ $>$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

   答 案   

$\textcolor{red}{\boldsymbol{\beta}}$ $=$ $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$

问题

已知，表达式 $\textcolor{orange}{k_{1}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 称为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 的线性组合，则实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 被称为该线性组合的 （ ） ？

选项

[A].   常数

[B].   权值

[C].   倍数

[D].   系数

   答 案   

系 数

问题

给定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$, 对任何一组实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$, 表达式 $\textcolor{orange}{k_{1}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 称为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 的 （ ） ？

选项

[A].   唯一的一个线性组合

[B].   其中一个非线性组合

[C].   其中一个线性组合

[D].   其中一个数乘组合

   答 案   

其中一个 线 性 组 合

问题

已知，$k$ 和 $l$ 为常数，$\alpha$ 为向量。则，根据 向 量 数 乘 的 分 配 律 ，$\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{orange}{k}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{l}$ $\textcolor{orange}{)}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $=$ $?$

选项

[A].   $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $(k l)$ $\alpha$

[B].   $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\alpha$ $+$ $\frac{1}{l}$ $\alpha$

[C].   $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $k l$ $\alpha$ $+$ $k l$ $\alpha$

[D].   $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $k$ $\alpha$ $+$ $l$ $\alpha$

   答 案   

$($ $\textcolor{orange}{k}$ $+$ $\textcolor{cyan}{l}$ $)$ $\alpha$ $=$ $\textcolor{orange}{k}$ $\alpha$ $+$ $\textcolor{cyan}{l}$ $\alpha$

问题

已知，$k$ 为常数，$\alpha$ 和 $\beta$ 为向量。则，根据 向 量 数 乘 的 分 配 律 ，$\textcolor{orange}{k}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\beta}$ $\textcolor{orange}{)}$ $=$ $?$

选项

[A].   $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $k$ $\alpha$ $+$ $\beta$

[B].   $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\alpha$ $+$ $\frac{1}{k}$ $\beta$

[C].   $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $k$ $\alpha$ $+$ $k$ $\beta$

[D].   $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $\alpha$ $+$ $k$ $\beta$

   答 案   

$\textcolor{orange}{k}$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $\textcolor{orange}{k}$ $\alpha$ $+$ $\textcolor{orange}{k}$ $\beta$