一、题目
$$
\int \frac{1}{x + x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“乘法变减法，轻松化“尴尬”：$\int$ $\frac{1}{x+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$”适时而止，更简单：$\int$ $e^{x}$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int e^{x} \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“适时而止，更简单：$\int$ $e^{x}$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d} x$”披着根号外衣的幂函数积分
一、题目
$$
\int \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“披着根号外衣的幂函数积分”存在两类及以上不同函数的式子就尝试用分部积分：$\int$ $\frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“存在两类及以上不同函数的式子就尝试用分部积分：$\int$ $\frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$”求导一定要“彻底”：以 $\arcsin \sqrt{x}$ 为例
计算嵌套三角函数之：$\cot$ 与 $\arctan$
计算嵌套三角函数之：$\cos$ 与 $\arctan$
遇高幂就降幂：$\int$ $\frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“遇高幂就降幂：$\int$ $\frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}}$ $\mathrm{d} x$”计算嵌套三角函数之：$\sin$ 与 $\arctan$
一、题目
第 01 题：
$$
\sin(\arctan x) = ?
$$
第 02 题：
$$
\sin(2 \arctan x) = ?
$$
难度评级：
计算嵌套三角函数系列文章
找规律凑微分：$\int$ $\frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“找规律凑微分：$\int$ $\frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x}$ $\mathrm{d} x$”三角函数凑微分搭配分部积分：$\int$ $\frac{1}{\cos^{3} x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
本题在定积分上的一个应用示例：《当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解》
继续阅读“三角函数凑微分搭配分部积分：$\int$ $\frac{1}{\cos^{3} x}$ $\mathrm{d} x$”避坑指南：应用公式 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$ $+$ $C$ 时的注意要点
一、前言 
首先，大家看一看，下面的计算步骤是否正确：
$$
\int \frac{x^{2}}{1+2x^{2}} \mathrm{d} x =
$$
$$
\int \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{2x^{2}}{x^{2}}} \mathrm{d} x =
$$
$$
\int \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 2} \mathrm{d} x =
$$
$$
\int \frac{1}{(\sqrt{2})^{2} + (\frac{1}{x})^{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\sqrt
2}{2 x} + C.
$$
继续阅读“避坑指南：应用公式 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$ $+$ $C$ 时的注意要点”本文中的 $C$ 表示任意常数。
巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)}$ $\mathrm{d} x$”求解全微分：$z$ $=$ $e^{\frac{y}{x}}$
遇到三角函数有理式，就用三角函数凑微分：$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“遇到三角函数有理式，就用三角函数凑微分：$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$”