一、题目

$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;

$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$;

$(ab)’$ $=$ $a’b$ $+$ $ab’$;

$f'(x)$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.

• 对 $x$ 求导，则包括 $x$ 和其他常量都要按照求导公式进行计算，而除了 $x$ 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: $’$) 即可，不进行求导计算；
• 等式两边对同一变量求导后，等式仍然成立。因为求导前是等式，求导规则也一致，则求导后等式两边仍然恒等。

$y$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $(x-x_{0})$.

$[\sin(xy)$ $+$ $\ln(y-x)]’$ $=$ $(x)’$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(x’y+xy’)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y-x)’$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(y$ $+$ $xy’$ $)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$.

$1$ $\cdot$ $1$ $+$ $1$ $\cdot$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $1$ $+$ $y’$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $y’$ $=$ $1$.

$y'(0)$ $=$ $1$.

$y$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\cdot$ $($ $x$ $-$ $0$ $)$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

EOF

一、题目

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

二、解析

(1) 定积分基本性质

$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $dx$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)dt$;

(2) 变上限积分函数求导

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)$ $=$ $\int_{a}^{x}$ $f(t)$ $dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $F'(x)$ $=$ $f(x)$.
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，设$F(x)$ $=$ $\int_{a}^{\phi(x)}$ $f(t)$ $dt$, 则：

$F'(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.

$(x^{a})’$ $=$ $ax^{a-1}$;

$f'(x)$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $\cdot$ $(x^{2})’$ $=$ $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$.

(1) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $\neq$ $0$

(2) $2$ $x$ $\neq$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$.

(3) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$

$2$ $x$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ 无解.

$x$ $=$ $0$.

EOF

二、解析

方法一

$x$ $\sim$ $\sin x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$.

$t$ $-$ $\sin t$ $\sim$ $\frac{1}{6}t^{3}$

方法二

$x$ $\sim$ $\sin x$;

$1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f'(x)}{g'(x)}$

$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;

$(u-v)’$ $=$ $u’$ $-$ $v’$;

$f'(x)$ $=$ $f'[g(x)]$ $g'(x)$.

$\sin x$ $-$ $\sin(\sin x)$ $\rightarrow$ $0$, 且存在导数;

$x^{3}$ $\rightarrow$ $0$, 且存在导数.

EOF

一、题目

( A ) $t_{0}$ $=$ $10$.

( B ) $15$ $<$ $t_{0}$ $<$ $20$.

( C ) $t_{0}$ $=$ $25$.

( D ) $t_{0}$ $>$ $25$.

二、解析

方法二

1. 定积分的几何意义：
曲边梯形的代数和.
2. 定积分的基本性质：
定积分的线性性：

$\int_{a}^{b}$ $[$ $k_{1}$ $f_{1}(x)$ $+$ $k_{2}$ $f_{2}(x)$ $]$ $dx$ $=$ $k_{1}$ $\int_{a}^{b}$ $f_{1}(x)$ $dx$ $+$ $k_{2}$ $\int_{a}^{b}$ $f_{2}(x)$ $dx$.

$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $dx$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $dx$ $+$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $dx$.

$s(t)$ $=$ $\int_{0}^{t}$ $v(t)$ $dx$.

$s_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{1}(t)$.

$s_{2}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{2}(t)$.

$s_{2}(t)$

$s_{2}(t)$ $-$ $10$ $=$ $s_{1}(t)$.

$s_{2}(t)$ $-$ $s_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{2}(t)$ $-$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

$\int_{0}^{10}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $+$ $\int_{10}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

$\int_{0}^{10}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

$\int_{10}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $20$. (1)

EOF

二、解析

方法一

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$f(-x)$ $=$ $\frac{1}{1+(-x)^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$f(x)$ $=$ $f(-x)$

$f^{(3)}(0)$ $=$ $0$

方法二

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $x^{n}$, $|x|$ $<$ $1$

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1-(-x^{2})}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-x^{2})^{n}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $x^{2n}$

$f'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

$f”(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $x^{2n-2}$

$f”'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $(2n-2)$ $\cdot$ $x^{2n-3}$

EOF

一、题目

( A ) $f(1)$ $>$ $f(-1)$

( B ) $f(1)$ $<$ $f(-1)$

( C ) $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

( D ) $|f(1)|$ $<$ $|f(-1)|$

二、解析

$[f(x)$ $\cdot$ $g(x)]’$ $=$ $f'(x)$ $g(x)$ $+$ $f(x)$ $g'(x)$

$f'(x)g(x)$ $+$ $f(x)g'(x)$ $=$ $f'(x)f(x)$ $+$ $f(x)f'(x)$ $=$ $f(x)f'(x)$ $+$ $f(x)f'(x)$ $=$ $2f(x)f'(x)$

$F'(x)$ $=$ $2$ $f(x)f'(x)$

$F(1)$ $-$ $F(-1)$ $>$ $0$

$f^{2}(1)$ $-$ $f^{2}(-1)$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $f^{2}(1)$ $>$ $f^{2}(-1)$ $\Rightarrow$ $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

EOF

一、题目

$f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.$

( A ) $ab$ $=$ $\frac{1}{2}$

( B ) $ab$ $=$ $-$ $\frac{1}{2}$

( C ) $ab$ $=$ $0$

( D ) $ab$ $=$ $2$

二、解析

$\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}}$ $=$ $f(x_{0})$

$\lim_{x \rightarrow 0^{-}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $=$ $f(0)$

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}$

$1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$

$\frac{1}{2a}$ $=$ $b$

$ab$ $=$ $\frac{1}{2}$

EOF

二、解析

本题用到的知识点

$\log_{a}(MN)$ $=$ $\log_{a}M$ $+$ $\log_{a}N$

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

$\sqrt{1+x^{2}}$ $>$ $\sqrt{x^{2}}$ $>$ $|x|$ $>$ $0$.

$f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$

$f(-x)$ $=$ $\ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})$

$f(x)$ $+$ $f(-x)$ $=$ $\ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)$ $+$ $\ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)$ $=$ $\ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]$ $=$ $\ln(1+x^{2}-x^{2})$ $=$ $\ln(1)$ $=$ $0$

EOF

一、题目

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}$ $=$

解法一

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}$ $=$ $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}$

$(1+x)^{\mu }$ $-$ $1$ $\backsim$ $\mu$ $x$

$\sqrt{1-x^{2}}$ $-$ $1$ $\backsim$ $-$ $\frac{1}{2}x^{2}$, 因此有：

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}$ $=$ $-$ $\frac{1}{4}$

解法二

(1) $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$ $\rightarrow$ $0$

(2) $x^{2}$ $\rightarrow$ $0$ 且 $x^{2}$ $\neq$ $0$

(3) $y$ $=$ $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$ 和 $y$ $=$ $x^{2}$ 在 $0$

$\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}$

$\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}$ $\lim_{x \to 0}$ $=$ $-$ $\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} – \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}$

(01) $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 或 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均趋于 $0$ 或者趋于 $\infty$;

(02) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 的去心邻域可导且 ${g}'(x)$ $\neq$ $0$;

(03) $\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 的极限存在或者为无穷大。

$\lim_{x \to x_{0}}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \to x_{0}}$ $\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$

解法三

$(1+x)^{m}$ $=$ $1$ $+$ $mx$ $+$ $\frac{m(m-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

$\sqrt{1+x}$ $=$ $(1+x)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $x$ $+$ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2}$ $)$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $x$ $-$ $\frac{1}{8}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

$\sqrt{1-x}$ $=$ $(1-x)^{\frac{1}{2}}$ $=$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $x$ $+$ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}-1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$ $=$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $x$ $-$ $\frac{1}{8}$ $x^{2}$ $+$ $o(x^{2})$

EOF

一、例题：对下面的函数求导

$f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$

二、错误的求导过程

${f}'(x)$ $=$ ${(\sqrt{1 + x})}’$ $+$ ${(\sqrt{1 – x})}’$ $+$ ${2}’$ $=$ ${((1 + x)^{\frac{1}{2}})}’$ $+$ ${((1 – x)^{\frac{1}{2}})}’$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ $=$ $\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$

三、正确的求导过程

$\frac{dy}{dx}$ $=$ $\frac{dy}{du}$ $\frac{du}{dx}$ $=$ ${f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)$

${f}'(x)$ $=$ ${(\sqrt{1 + x})}’$ $+$ ${(\sqrt{1 – x})}’$ $+$ ${2}’$ $=$ ${((1 + x)^{\frac{1}{2}})}’$ $+$ ${((1 – x)^{\frac{1}{2}})}’$ $=$ $\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1 – x)^{-\frac{1}{2}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $(1 + x)^{-\frac{1}{2}} \times {(x)}’$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1 – x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}’$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}} – \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$

高等数学中常用的等价无穷小

(02) $\tan x \backsim x$

(01) $\sin x \backsim x$

(03) $\arcsin x \backsim x$

(04) $\arctan x \backsim x$

(05) $\ln(1+x) \backsim x$

(06) $e^{x} -1 \backsim x$

(07) $1-\cos x \backsim \frac{1}{2}x^{2}$

(08) $x – \ln(1 + x) \backsim \frac{1}{2}x^{2}$

(09) $\tan x – \sin x \backsim \frac{1}{2}x^{3}$

(10) $\arcsin x – \arctan x \backsim \frac{1}{2}x^{3}$

(11) $\tan x – x \backsim \frac{1}{3}x^{3}$

(12) $x – \arctan x \backsim \frac{1}{3}x^{3}$

(13) $x – \sin x \backsim \frac{1}{6}x^{3}$

(14) $(1+x)^{a}-1 \backsim ax$

(15) $a^{x}-1 \backsim \ln a\times x$