函数 $f(x)$ $=$ $\frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}$ 有无间断点并讨论间断点的类型

一、题目题目 - 荒原之梦

下面的函数有无间断点,若有间断点,则分类讨论其间断点的类型:

$$
f(x) = \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}
$$

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计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{1}{n^{2} + 1^{2}}$ $+$ $\frac{2}{n^{2} + 2^{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{n}{n^{2} + n^{2}}$ $\big)$

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}} \Big) = ?
$$

难度评级:

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计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}}$

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$

其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.

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计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}}$

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}} = ?
$$

其中,$x$ $>$ $0$.

对变量取值范围的讨论是解答本题的重点,详情见下文……

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计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}}$

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} = ?
$$

本题可以使用夹逼准则解出,下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。

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将 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小结合记忆

一、前言 前言 - 荒原之梦

在高等数学中,有些公式在本质上是有联系的,如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式,就能记忆得更加牢固。

在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小。

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计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3}$ $\big)^{n}$

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} = ?
$$

其中,$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.

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