一、前言
大家在工科数学课程或者考研数学课程中都经常会用到“洛必达运算”,也就是对分式的分子和分母同时进行求导的一种运算。
其实,除了洛必达运算,还有与之对应的“同胞兄弟”:反向洛必达运算。
难度评级:
继续阅读“洛必达与反向洛必达运算”大家在工科数学课程或者考研数学课程中都经常会用到“洛必达运算”,也就是对分式的分子和分母同时进行求导的一种运算。
其实,除了洛必达运算,还有与之对应的“同胞兄弟”:反向洛必达运算。
难度评级:
继续阅读“洛必达与反向洛必达运算”$$
I = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x) (1-\sqrt{x}) \cdots (1- \sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } = ?
$$
难度评级:
继续阅读“当分子中包含无穷多个因式的时候,该怎么计算极限?”$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x – \tan x}{\sin x – \sin(\sin x)} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“利用等价无穷小在分子或者分母中对元素做整体替换”$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cos t^{3} x} = \ ?
$$
难度评级:
继续阅读“极限乘法运算中,极限非零的因子的极限可以直接代入”已知 $I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{(2 x-1)^{\alpha}}=\beta \neq 0$, 则:
$$
\begin{cases}
\alpha = ? \\
\beta = ?
\end{cases}
$$
难度评级:
继续阅读“在无穷大的环境中,只有次幂最高的起作用”已知 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)+a x+b}{x+x^{2}}$ $=$ $16$, 则 $a = ?$, $b = ?$
难度评级:
继续阅读“在无穷小的环境中,只有次幂最低的起作用”设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内可导,且 $f(1)=0$, 请证明 $\exists \xi \in(\mathbf{0}, \mathbf{1})$, 使 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ 成立.
难度评级:
继续阅读“应用罗尔定理的特征:闭区间连续、开区间可导、端点值相等”$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x-3)^{20}(3 x+2)^{30}}{(2 x+1)^{50}+x^{48}(2 x-1)} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“通过提取式子中的“大头”,变无穷大为无穷小”在被积函数中,如果我们能找到两部分式子 “$\square$” 和 “$\triangle$” 是导数和原函数的关系,例如:
$$
(\square)^{\prime} = \triangle
$$
则可凑微分为:
$$
\int \square \cdot \triangle \mathrm{~d} x = \int \square \mathrm{~d} (\square)
$$
在本文中,荒原之梦考研数学网将通过几个例题演示上面的凑微分方法。
继续阅读“凑微分的特征:被积函数中的两部分是导数和原函数的关系”在本文中,荒原之梦考研数学网将给出几道涉及幂函数凑微分的题目及解析——
对于这类题目,判断能否尝试凑微分的一个关键“标志性信号”就是观察被积函数中是否存在次幂相差 $1$ 的部分。
继续阅读“幂函数凑微分的标志:次幂相差 1”$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2 x+a+b}} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“次幂同时含有变量和常量的极限怎么计算?”设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x^{2}+y^{2}-x y=1$, $\ x^{2}+y^{2}-x y=2$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$, $\ y=0$ 围成, 计算 $\iint_{D} \frac{1}{3 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
难度评级:
继续阅读“2023年考研数二第20题解析:极坐标系二重积分”已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., \ x \geq 1\right \}$,
(1) 求 $\mathrm{D}$ 的面积.
(2) 求 $\mathrm{D}$ 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.
难度评级:
继续阅读“2023年考研数二第19题解析:定积分、旋转体的体积”$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n}+2^{n}}{5^{n+1}+2^{n+1}} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“关于幂指函数的无穷大比较的一个重要结论”