2015 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设二维随机变量$(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=$____.

二、解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

1. 正态分布

正态分布通常用下面的公式表示:

$$X \sim N(\mu,\sigma^{2}).$$

其中 $\mu$ 表示数学期望(或称“均数”),$\sigma^{2}$ 表示方差,$\sigma$ 表示标准差。

参数 $\mu$ 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置,正态分布的图像以 $x$ $=$ $\mu$ 为对称轴,左右完全对称。在正态分布中,数学期望 $=$ 均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 $=$ $\mu.$

参数 $\sigma^{2}$ 决定了正态分布中随机变量的离散程度,$\sigma$ 越小,数据就越集中,反之,若 $\sigma$ 越大,数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是,当 $\sigma$ 越小的时候,正态分布的图像越窄高,$\sigma$ 越大的时候,正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 $(\mu – \sigma, \mu + \sigma)$ 区间内存在拐点,拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地,$X \sim N(0,1)$ 为标准正态分布,其分布图象关于 $y$ 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像,反映了参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 对正态分布图像的影响,其中红色线表示的为标准正态分布:

图 1. 由Inductiveload – self-made, Mathematica, Inkscape,公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3817954

2. 二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式:

$(X,Y)$ $\sim$ $N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho).$

在本题中,需要用到关于二维正态分布的如下两个性质:

① $X$ $\sim$ $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$; $Y$ $\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$;

② $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $\rho=0.$ 我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像:

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示:

图 2. 二维正态分布条件概率密度函数图像

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束,下面是具体的做题过程。

由题可知,$\rho=0,$ 因此,$X$ 与 $Y$ 相互独立,根据“随机变量的独立性”中的定理,我们知道,这也就意味着:

$$P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.$$

于是,我们有:

$P\{XY-Y<0\}$ $=$ $P\{Y(X-1)<0\}$ $=$ $P\{Y>0,X-1<0\}$ $+$ $P\{Y<0,X-1>0\}$ $=$ $P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}$ $=$ $P\{Y>0\}P\{X<1\}$ $+$ $P\{Y<0\}P\{X>1\}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2}.$

综上可知,本题的正确答案是:$\frac{1}{2}$

EOF

2012 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

一、题目

设 $a_{1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix}$, $a_{2}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix}$, $a_{3}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix}$, $a_{4}$ $=$ $\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix}$, 其中 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数,则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) $a_{1},a_{2},a_{3}.$

( B ) $a_{1},a_{2},a_{4}.$

( C ) $a_{1},a_{3},a_{4}.$

( D ) $a_{2},a_{3},a_{4}.$

二、解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ 线性相关的结论中,有这样一个结论:

$n$ 个 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2}$, $\dots$ $a_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.$

上面的结论中提到了 “$n$ 维向量”, 其实 “$n$ 维向量” 是两种向量的合称,第一种叫 “$n$ 维列向量”,即 $n$ 行 $1$ 列,形如:

$a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.$
第二种叫 “$n$ 维行向量”,即 $1$ 行 $n$ 列,形如:

$b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.$
观察可知,题目中给出的是 $3$ 维列向量,选项中给出的向量的排布组合方式是横向的,因此组合形成的是 $3$ 行 $3$ 列的向量组,符合使用上述有关结论的条件。

此外,为了方便计算,这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法,如下:
只要主对角线的两侧有任一侧有用 $0$ 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

$\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

注:上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

$\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

注:上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项:

$\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.$

当 $-c_{1} \neq 0$ 时,$a_{1},a_{2},a_{3}$ 的线性相关不成立。

B 项:

$\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.$
当 $c_{1} \neq 0$ 时,$a_{1},a_{2},a_{4}$ 的线性相关不成立。

C 项:

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.$

$a_{1},a_{3},a_{4}$ 的线性相关性恒成立。

D 项:

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.$

当 $-c_{3}-c_{4} \neq 0$ 时,$a_{2},a_{3},a_{4}$ 的线性相关不成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

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2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.$, 则 $E(X^{2})=$__.

二、解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

$P{X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $(k=0,1,2,\dots).$

于是我们有:

$C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda}.$

由于在泊松分布中,$D(X)$ $=$ $E(X)$ $=$ $\lambda.$

而且我们知道 $D(X)$ 和 $E(X)$ 有如下关系:

$D(X)$ $=$ $E(X^2)-E^{2}(X)$ $\Rightarrow$ $E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $E^{2}(X)$ $=$ $\lambda$ $+$ $\lambda^{2}.$

因此,只要我们求出 $\lambda$ 的数值,也就是用 $C$ 表示出 $\lambda$ 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 $C=\lambda^{k}e^{-\lambda}$ 用 $C$ 表示出 $\lambda$ 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 $C$ 表达出 $\lambda$, 那么表达式中也会含有未知变量 $k$.

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 $E(X^{2})$, 就必须知道 $D(X)$ 和 $E^{2}(X)$, 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 $\lambda$ 的数值,而要知道 $\lambda$ 的数值必然需要通过已知的常数 $C$ 来确定,根据公式,$C$ 与 $\lambda$ 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

$\frac{C}{k!}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$

但是,上面这个公式中存在一个未知量 $k.$

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 $k$ 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 $k$ 的值,也没有可供解出 $k$ 的关系式。不过,既然要解出 $k$ 就先来想想 $k$ 的含义吧。

在泊松分布的定义中,$X$ 是随机变量,由泊松分布公式中的 “$P{X=k}$” 我们知道,$k$ 就是用来给 $X$ 赋值的,不同的 $k$ 值对应不同的概率,而 $k$ 的取值范围是 $0,1,2,\dots n.$ 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 $k$ 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 $1$, 即:

$\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{C}{k!}$ $=$ $C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ $=1.$

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) $e$ 的表示方法。

$e$ 有两种表示方法,如下:

方法一:$e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.$

方法二:$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.$

注意:$0!=1.$

于是,我们有:

$C\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{1}{k!}$ $=$ $Ce$ $=$ $1$ $\Rightarrow C$ $=$ $\frac{1}{e}$ $=$ $e^{-1}.$

又因为 $C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda},$ 我们有:

$\lambda^{k}e^{-\lambda}$ $=$ $e^{-1}.$

于是有:

$\lambda$ $=$ $1$, $k=1.$

到这里就解出 $\lambda$ 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 $E(X^{2}):$

$E(X^2)$ $=$ $\lambda+\lambda^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2.$

综上可知,本题的正确答案是:$2$

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充分条件必要条件和充要条件(图文解析)

一、充分条件

若由 $A$ 能够推导出 $B$, 但是由 $B$ 不能够推导出 $A$, 则称 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件($B$ 的充分不必要条件是 $A$.)。

从集合的角度看,就是 $A \in B$, 如图 1:

图 1
继续阅读“充分条件必要条件和充要条件(图文解析)”

2015 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

若 $A$, $B$ 为任意两个随机事件,则 ( )

( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.

( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.

( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

二、解析

我们知道,$AB$ $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$.

于是,我们知道,$AB$ $\subset$ $A$, $AB$ $\subset$ $B$.

接下来,根据概率的基本性质中的可比性:

设 $A$, $B$ 是两个事件,若 $A$ $\subset$ $B$, 则有:


$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

于是,我们知道:

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②

接下来,将 ① 式与 ② 式联立可得:

$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

综上可知,本题的正确选项是:$C$.

EOF

2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续,其 $2$ 阶导函数 $f”(x)$ 的图形如图 1 所示,则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点的个数为 ( )

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析 | 荒原之梦
图 1.

二、解析

如图 2 所示,令左边的曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_{1}$, 坐标原点为点 $x_{2}$, 右边曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_{3}$:

2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析 | 荒原之梦
图 2.

由于本题涉及 2 阶导数,因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定:

若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处 $f”(x_{0})$ $=$ $0$ (或 $f”(x_{0})$ 不存在,但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处连续),若 $f”(x)$ 在 $x_{0}$ 的左、右两侧邻域内异号,则 $(x_{0}$, $f(x_{0}))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点。

我们知道,对于连续函数的图像曲线而言,拐点处的图像曲线要么等于零,要么不存在。图 2 中的 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ ( $f”(x_{2})$ 虽然不存在,但是由题目中给出的“函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续”的条件我们知道,$f”(x_{2})$ 在点 $x_{2}$ 的左右两侧邻域是连续的,可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 $x_{1}$ 两侧的函数都为正($f”(x)$ 的图像在 $x$ 轴上方),因此,不满足“左右两侧邻域内异号”的条件,因此,点 $x_{1}$ 不是函数 $f(x)$ 的拐点。点 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 两侧邻域的函数图像均异号,因此点 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 满足函数拐点存在的充分条件,函数 $f(x)$ 有两个拐点。

综上可知,本题的正确选项是:$C$.

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2011 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

曲线 $y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2)^{2}$ $(x-3)^{3}$ $(x-4)^{4}$ 的拐点是 ( )

( A ) $(1,0)$.

( B ) $(2,0)$.

( C ) $(3,0)$.

( D ) $(4,0)$.

二、解析

本题主要涉及求导,曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判定,拐点的定义,拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下:

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续,若对 $I$ 上任意两点 $x_{1}$, $x_{2}$, 恒有:

$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$ $<$ $(>)$ $\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$,

则称曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在区间 $I$ 上是向凹(凸)的.

曲线凹凸性的判定如下:

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,在 $(a,b)$ 内具有二阶导数,那么:

① 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $>$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的;

② 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $<$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的.

拐点的定义如下:

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内连续,$x_{0}$ 是 $I$ 的内点,如果曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在经过点 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 时凹凸性发生了改变,则称点 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下:

第一充分条件:若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处 $f”(x_{0})$ $=0$ (或 $f”(x_{0})$ 不存在,但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处连续),若 $f”(x)$ 在 $x_{0}$ 的左右两侧邻域异号,则 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$的拐点.
第二充分条件:设 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 的某邻域内有三阶导数,且 $f”(x_{0})$ $=$ $0$, $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$, 则 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 为 $f(x)$ 的拐点.

回到本题。本题的原式是:

$y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2)^{2}$ $(x-3)^{3}$ $(x-4)^{4}$.

观察可知,当 $x$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$ 时都可以使 $y$ $=$ $0$, 而我们在找拐点的时候,最重要的就是找到哪个点是大于零的,哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的,上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数,但是上面的式子太长,求导之后会更长,为了方便计算,尽可能避免出错,我们作如下约定:

令:

$A$ $=$ $(x-1)$;

$B$ $=$ $(x-2)^{2}$;

$C$ $=$ $(x-3)^{3}$;

$D$ $=$ $(x-4)^{4}$.

之后,我们有:

原式 $=$ $y$ $=$ $ABCD$.

于是我们有:

$y’$ $=$ $A’BCD$ $+$ $A(BCD)’$;

$y”$ $=$ $A”BCD$ $+$ $A'(BCD)’$ $+$ $A'(BCD)’$ $+$ $A(BCD)”$;

$y”’$ $=$ $A”’BCD$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A'(BCD)”$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A’BCD”$ $+$ $A'(BCD)”$ $+$ $A(BCD)”’$;

令 $y’$ $=$ $0$, 则有:

$y'(2)$ $=$ $y'(3)$ $=$ $y'(4)$ $=$ $0$;

$y'(1)$ $\neq$ $0$. ($x$ $=$ $1$ 对应 $A$, 但是 $A’$ 是一个常数,不受 $x$ 的影响,因此 $x$ $=$ $1$ 不会使 $y’$ $=$ $0$, 以下计算过程中的判断与此类似.)

令 $y”$ $=$ $0$, 则有:

$y”(3)$ $=$ $y”(4)$ $=$ $0$;

$y”(1)$ $\neq$ $0$, $y”(2)$ $\neq$ $0$.

令 $y”’$ $=$ $0$, 则有:

$y”'(4)$ $=$ $0$;

$y”'(1)$ $\neq$ $0$, $y”'(2)$ $\neq$ $0$, $y”'(3)$ $\neq$ $0$.

通过上面的计算我们知道,$y”(3)$ $=$ $0$ 且 $y”'(3)$ $\neq$ $0$, 因此,根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件,点 $(3,0)$ 是曲线 $y$ 的拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

EOF

[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)

一、题目

下列命题中正确的是()

( A ) 若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$, 则 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时,$f(x)$ $\geqslant$ $g(x)$.

( B ) 若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时,$f(x)$ $>$ $g(x)$, 且 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A_{0}$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$ $=$ $B_{0}$, 则 $A_{0}$ $>$ $B_{0}$.

( C ) 若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时,$f(x)$ $>$ $g(x)$, 则 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$.

( D ) 若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $>$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$, 则 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时,$f(x)$ $>$ $g(x)$.

二、解析

概念考察题是考研数学中一类比较难的题,这类题的难点在于除了紧抠概念之外,解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且,概念考察题考察的都是概念的细微之处,一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出,本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看,本题考查了函数极限的定义中当 $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 时的极限的定义,如下:

已知 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$

任给 $\varepsilon$ $>$ $0$, 存在正数 $\delta$, 当 $0$ $<$ $(x$ $-$ $x_{0})$ $<$ $\delta$ 时,就有 $|f(x)-A|$ $<$ $\varepsilon$.

注:上面这个定义说的通俗一点就是,当 $x$ 与 $x_{0}$ 足够接近的时候,$f(x)$ 与 $f(x)$ 的极限 $A$ 也足够接近。

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”,如下:

设 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$ $>$ $0$, 则在极限管辖的范围内,$f(x)$ $>$ $0$ $($ $f(x)$ $>$ $\frac{A}{2}$ $)$.

反之,$f(x)$ $>$ $0$ 且 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$ $\Rightarrow$ $A$ $\geqslant$ $0$.

注:当 $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 时,“极限管辖的范围”指的就是 $x_{0}$ 的去心邻域;当 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时,“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。

对于函数极限的性质中的保号性,我们需要明确以下几点:

  • 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”,这也是解决所有涉及极限的问题的大前提:要研究和利用极限,则极限必须存在;
  • 保号性都是局部保号性,即只有在极限管辖的范围内才存在保号性;
  • 由极限大于 $0$ 可以推出函数大于 $0$, 不能推出函数等于 $0$ 或者函数小于 $0$. 由函数大于 $0$ 可以推出极限大于 $0$ 或者极限等于 $0$, 而且在不确定极限究竟是只大于 $0$ 还是只小于 $0$ 的情况下,要写成极限大于等于 $0$ 的形式。

以下是对本题中每一个选项的分析。

A 选项

该选项给出了:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$.

这说明 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限都存在(满足了研究极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤)且 $f(x)$ 的极限大于等于 $f(x)$ 的极限。

于是,我们有:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $($ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $)$ $\geqslant$ $0$.

接下来选项给出了:

若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

该选项接下来指出,由上面的条件可以推出 $f(x)$ $\geqslant$ $g(x)$.

这个结论是不对的。原因如下:

若函数 $f(x)$ 的极限 $A$ $>$ $0$, 则可以推出函数 $f(x)$ $>$ $0$;

若函数 $f(x)$ 的极限 $A$ $<$ $0$, 则可以推出函数 $f(x)$ $<$ $0$;

若函数 $f(x)$ 的极限 $A=0$, 则不能确定函数 $f(x)$ 是大于 $0$, 小于 $0$ 还是等于 $0$. 原因是,如果 $A$ $=$ $0$ 我们不知道函数 $f(x)$ 是在大于 $0$ 的方向上趋近于极限 $A$, 还是在小于 $0$ 的方向上趋近于极限 $A$, 抑或 $f(x)$ $=$ $0$.

如图 1 所示,当函数的极限等于 $0$ 时,函数可能是大于 $0$ 的:

图 1. $y$ $=$ $\frac{1}{x}$ 的局部图像.

如图 2 所示,当函数的极限等于 $0$ 时,函数也可能是小于 $0$ 的:

图 2. $y$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 的局部图像.

第三种情况,当函数的极限等于 $0$ 时,函数可能也是等于 $0$ 的,如图 3 所示:

图 3. $y$ $=$ $0$ 的局部图像.

因此,已知极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\geqslant$ $0$, 并不能推导出函数 $F(x)$ $=$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\geqslant$ $0$.

综上可知,选项 A 是错误的。

B 选项

题目中给出了如下条件:

若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时

因此,本题符合函数极限保号性的使用条件,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出:

$f(x)$ $>$ $g(x)$

于是,当我们令 $F(x)$ $=$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ 时,可以得出如下结论:

$F(x)$ $>$ $0$

接着,该选项又给出:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A_{0}$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$ $=$ $B_{0}$

这说明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 都是存在极限的,符合我们研究函数极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

最后,该选项给出了他的结论:

$A_{0}$ $>$ $B_{0}$

有了这个结论,结合前面的条件,我们可以把该选项改写成如下形式:

已知函数 $F(x)$ 存在极限,且函数 $F(x)$ $>$ $0$, 则 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $F(x)$ $>$ $0$.

这个结论显然是错误的,因为已知函数大于 $0$ 的时候,其极限是可能等于 $0$ 的,例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{x}$ 始终是大于 $0$ 的,但是其极限却是等于 $0$ 的。

综上可知,选项 B 是错误的。

C 选项

该选项的错误比较明显,因为选项中没有指明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 的极限存在,缺少了研究极限问题的大前提,那么,接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过,如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 的极限是存在的,那么该选项的表述就是正确的,原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知,选项 C 是错误的。

D 选项

该选项首先给出了如下条件:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $>$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$

若我们令 $F(x)$ $=$ $f(x)$ $-$ $g(x)$, 则上面的条件可以改写成:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $F(x)$ $>$ $0$

接着选项给出了:

若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出了它的结论:

$f(x)$ $>$ $g(x)$

根据前面的分析可知,我们可以将此改写成:

$F(x)$ $>$ $0$

我们知道,当一个函数的极限存在且大于 $0$ 的时候,在函数极限的管辖范围内,可以推导出该函数也大于 $0$.

综上可知,选项 D 是正确的。

EOF

2009 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$f(x)$ $=$ $x$ $-$ $\sin ax$ 与 $g(x)$ $=$ $x^{2}$ $\ln(1-bx)$ 是等价无穷小,则()

( A ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $-$ $\frac{1}{6}$.

( B ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

( C ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $-\frac{1}{6}$.

( D ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

二、解析

由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小,因此,根据“无穷小的比较”中关于等价无穷小的定理:

设 $\lim$ $\alpha(x)$ $=$ $0$, $\lim$ $\beta(x)$ $=$ $0$,
若 $\lim$ $\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}$ $=$ $1$, 则 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是等价无穷小,记为 $\alpha(x)$ $\sim \beta(x)$.

因此,我们有:

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{x-\sin ax}{x^{2}\ln(1-bx)}$ $=$ $1$.

在“常用的等价无穷小”中,同时和 $\sin x$ 与 $x$ 有关的等价无穷小两个,如下:

$\sin x$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$.

同时和 $\ln x$ 与 $x$ 有关的等价无穷小也有两个,如下:

$\ln(1+x)$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\ln(1+x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$.

那么,我们现在需要考虑的问题就是:需要组合使用哪两个等价无穷小化简原式?

这里选择并确定使用哪两个等价无穷小的依据就是题目中给出的“等价无穷小”。也就是说,在对原式进行化简运算的过程中,必须保证分子分母互为等价无穷小,每一步都要遵守这个原则,最后化简出来的结果中分子分母也必须互为等价无穷小,只有这样才可以和原式划等号。

由前面的计算我们知道,原式的分子是:

$x$ $-$ $\sin ax$

原式的分母是:

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$

于是,分子的有效化简形式有以下四种:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $ax$ (1)

或者:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (2)

或者:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $[ax$ $-$ $\frac{1}{6}$ $(ax)^{3}]$ $=$ $x$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{1}{6}$ $a^{3}$ $x^{3}$ (3)

或者:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $+$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (4)

分母的有效化简形式有以下两种:

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $(-bx)$ $=$ $-bx^{3}$ (5)

或者:

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $[(-bx)$ $-$ $\frac{1}{2}$ $(-bx)^{2}]$ $=$ $-bx^{3}$ $-$ $\frac{1}{2}$ $b^{2}$ $x^{4}$ (6)

由于要保证每一步计算过程中分子分母都是等价无穷小,因此,我们首先要看看那些式子组合起来可以形成等价无穷小。

(1) 到 (6) 六个式子中变量 $x$ 的次方数情况如下:

(1): 只包含 $1$ 次方;

(2): 只包含 $1$ 次方;

(3): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方;

(4): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方;

(5): 只包含 $3$ 次方;

(6): 包含 $3$ 次方和 $4$ 次方。

由于分母对应的 (5) 和 (6) 两个式子都包含 $3$ 次方,分子对应的 (1) 式和 (2) 式无论如何变化也不会出现 $3$ 次方,无法与分母构成等价无穷小,因此排除。此外,(4) 式有 $\sin x$ 和 $\sin ax$, 而分母中并没有对应的形式,因此 (4) 式被基本排除。

现在就剩下分子对应的 (3) 式和分母对应的 (5) 式和 (6) 式了。由于 (6) 式中含有 $x$ 的 4 次方,而 (3) 式无论如何变化也不会出现 4 次方,因此,正确的化简过程应该在 (3) 式和 (5) 式中产生。

基于以上分析,尝试化简如下:

原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{x-ax+\frac{1}{6}a^{3}x^{3}}{-bx^{3}}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{(1-a)x+\frac{1}{6}a^{3}x^{3}}{-bx^{3}}$

分母中没有 $1$ 次方,因此,为了保证“分子分母互为等价无穷小”这个条件始终成立,唯一的办法就是令 $1$ $-$ $a$ $=0$, 接下来,根据 $f(x)$ $\sim$ $g(x)$ 所得的分子分母的对应关系,我们可以得到:

$\frac{1}{6}a^{3}$ $=$ $-b$

两式联立:

$\left\{\begin{matrix}1-a=0,\\ \frac{1}{6}a^{3}=-b.\end{matrix}\right.$

解得:

$\left\{\begin{matrix} a=1,\\ b=-\frac{1}{6}.\end{matrix}\right.$

综上可知,本题的正确选项是:$A$


通过本题,我们可以总结出使用等价无穷小化简原式过程中的以下规律:

  • 注意原式分子分母的无穷小类型(等价,高阶,低阶,同阶,$K$ 阶),计算过程中要以始终保持一致的无穷小类型为所有计算的前提;
  • 使用常见等价无穷小化简的时候一般都是由繁化简,即化简的趋势都是使式子中尽可能只出现 $x$, 例如将 $\sin x$ 化为 $x$, 将 $\ln(1+x)$ 化为 $x$ 等。
  • 此外,把式子中的一部分化为和另一部分相同类型的形式更有可能简化运算,例如在本题中,分母是 $x^{2}$ $\ln(1-bx)$, 则把 $\ln(1-bx)$ 化为 $-bx$ 显然会让式子在形式上更统一,更有利于后面的计算;
  • 化简过程要严格按照公式进行,特别要注意负号和变量前面的参数,必要时要先加上括号维持原来的形式,之后一步步计算。

2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

一、题目

曲线 $\sin (xy)$ $+$ $\ln(y-x)$ $=x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为__.

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有:

$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;

$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$;

$(ab)’$ $=$ $a’b$ $+$ $ab’$;

$f'(x)$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.

求导过程中另外需要注意的两点如下:

  • 对 $x$ 求导,则包括 $x$ 和其他常量都要按照求导公式进行计算,而除了 $x$ 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: $’$) 即可,不进行求导计算;
  • 等式两边对同一变量求导后,等式仍然成立。因为求导前是等式,求导规则也一致,则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下:

$y$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $(x-x_{0})$.

解答思路如下:

由于切线方程的计算公式中包含导数 $f'(x)$,因此,首先需要计算出导数。原式两边同时对 $x$ 求导可以产生导数 $y’$:

$[\sin(xy)$ $+$ $\ln(y-x)]’$ $=$ $(x)’$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(x’y+xy’)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y-x)’$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(y$ $+$ $xy’$ $)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$.

要求的是曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程,因此,我们把 $x$ $=$ $0$; $y$ $=$ $1$带入上面的到的式子中,得:

$1$ $\cdot$ $1$ $+$ $1$ $\cdot$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $1$ $+$ $y’$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $y’$ $=$ $1$.

即:

$y'(0)$ $=$ $1$.

将上述结果带入切线方程求导公式得:

$y$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\cdot$ $($ $x$ $-$ $0$ $)$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

综上可知,本题得答案是:$y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

EOF

2008 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

设函数 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x^{2}}$ $\ln(2+t)$ $dt$, 则 $f'(x)$ 的零点个数()

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

二、解析

本题可以使用积分和导数的相关定理解出。

涉及到的积分知识如下:

(1) 定积分基本性质

$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $dx$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)dt$;

(2) 变上限积分函数求导

  • 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,则 $F(x)$ $=$ $\int_{a}^{x}$ $f(t)$ $dt$ 在 $[a,b]$ 上可导,且 $F'(x)$ $=$ $f(x)$.
  • 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,$\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导,设$F(x)$ $=$ $\int_{a}^{\phi(x)}$ $f(t)$ $dt$, 则:

$F'(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.

涉及到的求导知识如下:

$(x^{a})’$ $=$ $ax^{a-1}$;

此外,我们需要知道的是,“函数零点”指的是 $f(x)$ $=$ $0$ 时,对应的自变量 $x$ 的数值,“函数零点” 不是一个点,而是一个数值。

解题思路如下:

根据变上限积分函数求导法则,有:

$f'(x)$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $\cdot$ $(x^{2})’$ $=$ $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$.

则要求函数 $f'(x)$ 的零点的个数,就是求 $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ 的解的个数。

要使 $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ 成立,则有以下三种情况(分情况讨论时要注意“不重不漏”):

(1) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $\neq$ $0$

此时解出 $x$ $=$ $0$.

(2) $2$ $x$ $\neq$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$.

无解。

由于 $1$ $+$ $x^{2}$ $\geq$ $2$ 始终成立,而且当 $x$ $=$ $1$ 时,$\ln(x)$ $=$ $0$, 当 $x$ $>$ $1$ 时,$\ln(x)$ $>$ $0$.

所以,$\ln(2+x^{2})$ $>$ $0$ 始终成立,与 $x$ 轴没有交点。

(3) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$

$2$ $x$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ 无解.

综上可知,当 $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ 时,有:

$x$ $=$ $0$.

因此,只有一个零点,答案是:$B$.

EOF

2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析(两种方法+手写作答)

一、题目

求极限 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}$

二、解析

当题目中要求的是“极限”,而且出现了 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。

还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时可能产生 $\frac{0}{0}$ 型的洛必达或者 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的洛必达。而且,洛必达法则就是为求极限而生的,可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限,从而可能化简原式。

方法一

本题考查的是等价无穷小,需要用到的两个等价无穷小如下(当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时):

$x$ $\sim$ $\sin x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$.

于是有:

原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}$

令 $\sin x$ $=$ $t$, 则有:

原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}$

由于,当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\sin x$ $\rightarrow$ $0$, 于是有 $t$ $\rightarrow$ $0$, 因此根据常见的等价无穷小,有:

$t$ $-$ $\sin t$ $\sim$ $\frac{1}{6}t^{3}$

因此有:

原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}$ $=$ $\frac{1}{6}$

方法二

本题也可以结合使用等价无穷小与 $\frac{0}{0}$ 型洛必达等定理解出。

需要用到的等价无穷小有(当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时):

$x$ $\sim$ $\sin x$;

$1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$

需要用到的洛必达法则公式是:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f'(x)}{g'(x)}$

需要用到的求导规则是:

$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;

$(u-v)’$ $=$ $u’$ $-$ $v’$;

$f'(x)$ $=$ $f'[g(x)]$ $g'(x)$.

解答思路如下:

由于,当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\sin x$ $\sim x$, 于是有:

原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow0}$ $\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}}$ (1)

由于,当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,有:

$\sin x$ $-$ $\sin(\sin x)$ $\rightarrow$ $0$, 且存在导数;

$x^{3}$ $\rightarrow$ $0$, 且存在导数.

因此,可以对 (1) 式使用洛必达法则:

原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]’}{(x^{3})’}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}$

化简得:

原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}$

由于,当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\cos x$ $\rightarrow$ $1$, 因此,进一步化简得:

原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}$

使用等价无穷小进一步计算可得:

原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ $=$ $\frac{1}{6}$

方法一的手写作答:

方法二的手写作答:

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析(两种方法)

一、题目

甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 $10$(单位:m)处. 图中,实线表示甲的速度曲线 $v$ $=$ $v_{1}(t)$ (单位 : m/s),虚线表示乙的速度曲线 $v$ $=$ $v_{2}(t)$ (单位 : m/s),三块阴影部分面积的数值依次为 $10$, $20$, $3$. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_{0}$ (单位 : s),则()

( A ) $t_{0}$ $=$ $10$.

( B ) $15$ $<$ $t_{0}$ $<$ $20$.

( C ) $t_{0}$ $=$ $25$.

( D ) $t_{0}$ $>$ $25$.

二、解析

方法一

从物理学的角度,本题就是考查速度与路程的关系。

题目中给出的 $X$ $-$ $Y$ 坐标图像是“时间-速度”图像。那么,根据物理学知识我们知道,该曲线与坐标轴围成的图像的面积就是走过的路程。我们又知道,实线表示甲,虚线表示乙,而且刚开始时甲在乙前面 $10$ 米处。

由图像可知,当 $t$ $=$ $10$ 时,甲在乙前面 $20$ 米处,当 $t$ $=$ $25$ 时,乙在第 $10$ 秒到第 $25$ 秒之间的 $15$ 秒时间里比甲多跑了 $20$ 米,正好抵消了之前乙落后于甲的 $20$ 米路程。因此,当 $t$ $=$ $25$ 时,乙追上了甲,即 $t_{0}$ $=$ $25$。

综上可知,本题的正确选项是:$C$.

方法二

从数学的角度,本题主要考查的是定积分的基本运算和定积分的几何意义。

使用高等数学解答本题需要如下关于定积分的知识:

  1. 定积分的几何意义:
    曲边梯形的代数和.
  2. 定积分的基本性质:
    定积分的线性性:

$\int_{a}^{b}$ $[$ $k_{1}$ $f_{1}(x)$ $+$ $k_{2}$ $f_{2}(x)$ $]$ $dx$ $=$ $k_{1}$ $\int_{a}^{b}$ $f_{1}(x)$ $dx$ $+$ $k_{2}$ $\int_{a}^{b}$ $f_{2}(x)$ $dx$.

定积分积分区间的可加性:
$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $dx$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $dx$ $+$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $dx$.

根据上面的知识,我们可以做如下推理。

如果我们约定,使用 $v(t)$ 表示速度,使用 $s(t)$ 表示路程,那么在从 $0$ 到 $t$ 这个时间段内,可以写出如下定积分表达式:

$s(t)$ $=$ $\int_{0}^{t}$ $v(t)$ $dx$.

因此,当乙在 $t_{0}$ 时刻追上甲时,甲走过的路程为:

$s_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{1}(t)$.

乙走过的路程为:

$s_{2}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{2}(t)$.

$s_{2}(t)$

和 $s_{1}(t)$ 的关系为:

$s_{2}(t)$ $-$ $10$ $=$ $s_{1}(t)$.

于是有:

$s_{2}(t)$ $-$ $s_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{2}(t)$ $-$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

由于在从 $0$ 到 $10$ 秒的时间段内,$v_{2}$ 始终大于 $v_{1}$, 因此,乙超过甲的时间 $t_{0}$ 一定大于 $10$, 于是有:

$\int_{0}^{10}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $+$ $\int_{10}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

又由于,从题中给出的图像我们可以看出:

$\int_{0}^{10}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

因此有:

$\int_{10}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $20$. (1)

根据题中图像可知,在第 $10$ 秒到第 $25$ 秒这段时间里,图像中对应的阴影部分的面积为 $20$, 所以当 $t_{0}$ $=$ $25$ 时, $(1) $ 式成立。

综上可知,本题的正确选项是:$C$.

EOF

2017 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析(两种方法)

一、题目

已知函数 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$, 则 $f^{(3)}(0)$ $=$

二、解析

方法一

本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。

由于:

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$f(-x)$ $=$ $\frac{1}{1+(-x)^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

因此:

$f(x)$ $=$ $f(-x)$

于是,我们知道,函数 $f(x)$ 是一个偶函数。

接下来,根据“偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数”的规律,我们知道,函数 $f^{(3)}(x)$ 是一个奇函数。

又由于,如果一个奇函数 $g(x)$ 在原点处$($ $x$ $=$ $0$ $)$有定义,则 $g(x)$ $=$ $0$, 因此有:

$f^{(3)}(0)$ $=$ $0$

综上可知,本题的答案就是:$0$.

方法二

本题也可以借助泰勒级数计算。

本题要求解的是在 $x$ $=$ $0$ 时,$f(x)$ 的三次导函数的函数值。我们知道,麦克劳林级数就是函数在 $x$ $=$ $0$ 处的泰勒级数,是泰勒级数的一个特例。于是,这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。

麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式,如下:

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $x^{n}$, $|x|$ $<$ $1$

当我们把上述公式中的 $x$ 替换成 $-x^{2}$ 后,$f(x)$ 就可以使用上述几何级数的公式表达,如下:

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1-(-x^{2})}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-x^{2})^{n}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $x^{2n}$

之后,对 $f(x)$ 求导:

$f'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

$f”(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $x^{2n-2}$

$f”'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $(2n-2)$ $\cdot$ $x^{2n-3}$

于是,$f”'(0)=0$.

综上可知,本题的答案就是: $0$.

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

一、题目

若函数 $f(x)$ 可导,且 $f(x)$ $f'(x)$ $>$ $0$, 则()

( A ) $f(1)$ $>$ $f(-1)$

( B ) $f(1)$ $<$ $f(-1)$

( C ) $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

( D ) $|f(1)|$ $<$ $|f(-1)|$

二、解析

观察题目我们可以发现,$f(x)$ $f'(x)$ 和下面这个这个公式很像:

$[f(x)$ $\cdot$ $g(x)]’$ $=$ $f'(x)$ $g(x)$ $+$ $f(x)$ $g'(x)$

如果我们令 $g(x)$ $=$ $f(x)$, 则有:

$f'(x)g(x)$ $+$ $f(x)g'(x)$ $=$ $f'(x)f(x)$ $+$ $f(x)f'(x)$ $=$ $f(x)f'(x)$ $+$ $f(x)f'(x)$ $=$ $2f(x)f'(x)$

进一步,我们可以令 $F(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 则有:

$F'(x)$ $=$ $2$ $f(x)f'(x)$

由题可知,$f(x)f'(x)$ $>$ $0$, 于是有 $F'(x)$ $>$ $0$, 即 $F(x)$ 是一个单调递增的函数,由此可得:

$F(1)$ $-$ $F(-1)$ $>$ $0$

即:

$f^{2}(1)$ $-$ $f^{2}(-1)$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $f^{2}(1)$ $>$ $f^{2}(-1)$ $\Rightarrow$ $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

综上可知,正确答案为:$C$.

EOF