考研数学公式归档 - 第52页共61页

极限的减法运算法则（B001）

问题

已知 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim$ $g(x)$ $=$ $B$, 则，根据极限四则运算法则中的【减法运算法则】，下列哪项是正确选项？

选项

[A]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\times$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\times$ $B$

[B]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\div$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\div$ $B$

[C]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $-$ $g(x)]$ $=$ $A$ $-$ $B$

[D]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $+$ $g(x)]$ $=$ $A$ $+$ $B$

答案

$\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $-$ $g(x)]$ $=$ $A$ $-$ $B$

极限的加法运算法则（B001）

问题

已知 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim$ $g(x)$ $=$ $B$, 则，根据极限四则运算法则中的【加法运算法则】，下列哪项是正确选项？

选项

[A]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\div$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\div$ $B$

[B]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $-$ $g(x)]$ $=$ $A$ $-$ $B$

[C]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $+$ $g(x)]$ $=$ $A$ $+$ $B$

[D]. $\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $\times$ $g(x)]$ $=$ $A$ $\times$ $B$

答案

$\lim$ $f(x)$ $+$ $\lim$ $g(x)$ $=$ $\lim$ $[f(x)$ $+$ $g(x)]$ $=$ $A$ $+$ $B$

函数极限的重要性质之极限的保号性（03-B001）

问题

若 $f(x)$ $>$ $0$, 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, 则下列哪项一定成立？

选项

[A]. $A$ $<$ $0$

[B]. $A$ $\leqslant$ $0$

[C]. $A$ $>$ $0$

[D]. $A$ $\geqslant$ $0$

答案

$A$ $\geqslant$ $0$

同理，若 $f(x)$ $<$ $0$, 则 $A$ $\leqslant$ $0$.

函数极限的重要性质之极限的保号性（02-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $>$ $0$, 则一定存在 $X$ $>$ $0$, 使得当 $|x|$ $>$ $X$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $f(x)$ $\leqslant$ $0$

[B]. $f(x)$ $<$ $0$

[C]. $f(x)$ $\geqslant$ $0$

[D]. $f(x)$ $>$ $0$

答案

$f(x)$ $>$ $0$

同理，若 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $<$ $0$, 则 $f(x)$ $<$ $0$.

函数极限的重要性质之极限的保号性（01-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $>$ $0$, 则一定存在 $\xi$ $>$ $0$, 使得当 $0$ $<$ $|x – x_{0}|$ $<$ $\xi$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $f(x)$ $>$ $0$

[B]. $f(x)$ $\leqslant$ $0$

[C]. $f(x)$ $<$ $0$

[D]. $f(x)$ $\geqslant$ $0$

答案

$f(x)$ $>$ $0$

同理，如果 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $<$ $0$, 则 $f(x)$ $<$ $0$.

函数极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（02-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ 存在，则一定存在 $X$ $>$ $0$, $M$ $>$ $0$, 使得当 $|x|$ $>$ $X$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $f(x)$ $>$ $M$

[B]. $f(x)$ $<$ $M$

[C]. $f(x)$ $<$ $0$

[D]. $f(x)$ $=$ $M$

答案

$f(x)$ $<$ $M$

函数极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（01-B001）

问题

若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ 存在，则一定存在 $\xi$ $>$ $0$, $M$ $>$ $0$，使得当 $0$ $<$ $|x – x_{0}|$ $<$ $\xi$ 时，下列哪项一定成立？

选项

[A]. $|f(x)|$ $>$ $M$

[B]. $|f(x)|$ $<$ $M$

[C]. $|f(x)|$ $\neq$ $M$

[D]. $|f(x)|$ $=$ $M$

答案

$|f(x)|$ $<$ $M$

数列极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（B001）

问题

若当 $n$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，有 $x_{n}$ $\rightarrow$ $A$, 则一定存在 $M$ $>$ $0$, 使得对于一切 $n$, 下列哪项一定成立？

选项

[A]. $|x_{n}|$ $\geqslant$ $M$

[B]. $x_{n}$ $\leqslant$ $M$

[C]. $|x_{n}|$ $\leqslant$ $1$

[D]. $|x_{n}|$ $\leqslant$ $M$

答案

$|x_{n}|$ $\leqslant$ $M$

函数和数列极限的重要性质之极限的唯一性（B001）

问题

以下关于【函数和数列极限唯一性】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A]. 若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $B$ $=$ $B$

[B]. 若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $A$ $\neq$ $B$

[C]. 若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $A$ $=$ $B$

[D]. 若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $C$, 则 $A$ $=$ $B$

答案

若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $A$ $=$ $B$.

Tips: 极限若存在，必唯一.

变量 $x$ 趋于无穷大时的重要极限（B001）

问题

当 $x \rightarrow \infty$ 时，$(1 + \frac{1}{x})^{x}$ 的极限是多少？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$

[B]. $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $0$

[C]. $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $1$

[D]. $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$

答案

$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$

变量 $x$ 趋于零时的重要极限（02-B001）

问题

当 $x \rightarrow 0$ 时，$(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ 的极限是多少？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $1$

[B]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$

[C]. $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$

[D]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $0$

答案

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$

变量 $x$ 趋于零时的重要极限（01-B001）

问题

当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{\sin x}{x}$ 的极限是多少？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $-1$

[B]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $0$

[C]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$

[D]. $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $\infty$

答案

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$

数列极限存在的单调有界准则（B001）

问题

下面关于【数列极限存在的单调有界准则】中，正确的是哪个？

选项

[A]. 有界数列必存在极限

[B]. 单调数列必存在极限

[C]. 单调有界数列必存在极限

[D]. 单调有界数列不一定存在极限

答案

单调有界数列必存在极限

函数极限存在的夹逼准则（B001）

问题

根据【夹逼准则】，若要使函数极限 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$ 存在，则需要满足下面哪个条件？

选项

[A]. $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $<$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$

[B]. $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\leqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $B$

[C]. $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\geqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$

[D]. $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\leqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$

答案

$g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\leqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$

数列极限存在的夹逼准则（B001）

问题

根据【夹逼准则】，若要使数列极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $a$ 存在，则需要满足下面哪个条件？

选项

[A]. $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$

[B]. $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $a$, $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $b$

[C]. $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $a_{n}$ $=$ $a$

[D]. $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\geqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$

答案

$y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$