2014 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

行列式 $\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=$ ( )

$$( A ) (ad-bc)^{2}$$
$$( B ) -(ad-bc)^{2}$$
$$( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}$$
$$( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}$$

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶导数,$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,$ 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )

( A ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \geqslant g(x).$

( B ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \leqslant g(x)$.

( C ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \geqslant g(x)$.

( D ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \leqslant g(x)$.

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2011 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),$ 则 $E(XY^{2})=$____.

二、解析

由于在正态分布 $X \sim $ $N(\mu, \sigma^{2})$中 $E(X)=\mu$, $D(X)=\sigma^{2}.$ 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是,根据题目中的条件我们知道,$E(X)=$ $E(Y)=\mu$, $D(X)=$ $D(Y)=$ $\sigma^{2}.$

又由 $\rho=0$ 我们知道,$X$ 与 $Y$ 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质:

若 $X_{1},X_{2},$ $\dots ,$ $ X_{n},$ $Y_{1},$ $Y_{2},$ $\dots ,$ $ Y_{m}$ 相互独立,$f(\cdot)$ 为 $n$ 元连续函数且 $g(\cdot)$ 为 $m$ 元连续函数,则 $f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})$ 与 $g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m})$ 也相互独立。

因此,我们知道,$X$ 与 $Y^{2}$ 也相互独立,于是有:
$E(XY^{2})=$ $E(X)E(Y^{2})=$ $E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=$ $\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).$

综上可知,本题的正确答案是:$\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})$.

EOF

2015 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设二维随机变量$(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=$____.

二、解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

1. 正态分布

正态分布通常用下面的公式表示:

$$X \sim N(\mu,\sigma^{2}).$$

其中 $\mu$ 表示数学期望(或称“均数”),$\sigma^{2}$ 表示方差,$\sigma$ 表示标准差。

参数 $\mu$ 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置,正态分布的图像以 $x$ $=$ $\mu$ 为对称轴,左右完全对称。在正态分布中,数学期望 $=$ 均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 $=$ $\mu.$

参数 $\sigma^{2}$ 决定了正态分布中随机变量的离散程度,$\sigma$ 越小,数据就越集中,反之,若 $\sigma$ 越大,数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是,当 $\sigma$ 越小的时候,正态分布的图像越窄高,$\sigma$ 越大的时候,正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 $(\mu – \sigma, \mu + \sigma)$ 区间内存在拐点,拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地,$X \sim N(0,1)$ 为标准正态分布,其分布图象关于 $y$ 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像,反映了参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 对正态分布图像的影响,其中红色线表示的为标准正态分布:

图 1. 由Inductiveload – self-made, Mathematica, Inkscape,公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3817954

2. 二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式:

$(X,Y)$ $\sim$ $N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho).$

在本题中,需要用到关于二维正态分布的如下两个性质:

① $X$ $\sim$ $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$; $Y$ $\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$;

② $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $\rho=0.$ 我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像:

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示:

图 2. 二维正态分布条件概率密度函数图像

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束,下面是具体的做题过程。

由题可知,$\rho=0,$ 因此,$X$ 与 $Y$ 相互独立,根据“随机变量的独立性”中的定理,我们知道,这也就意味着:

$$P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.$$

于是,我们有:

$P\{XY-Y<0\}$ $=$ $P\{Y(X-1)<0\}$ $=$ $P\{Y>0,X-1<0\}$ $+$ $P\{Y<0,X-1>0\}$ $=$ $P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}$ $=$ $P\{Y>0\}P\{X<1\}$ $+$ $P\{Y<0\}P\{X>1\}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2}.$

综上可知,本题的正确答案是:$\frac{1}{2}$

EOF

2012 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

一、题目

设 $a_{1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix}$, $a_{2}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix}$, $a_{3}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix}$, $a_{4}$ $=$ $\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix}$, 其中 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数,则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) $a_{1},a_{2},a_{3}.$

( B ) $a_{1},a_{2},a_{4}.$

( C ) $a_{1},a_{3},a_{4}.$

( D ) $a_{2},a_{3},a_{4}.$

二、解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ 线性相关的结论中,有这样一个结论:

$n$ 个 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2}$, $\dots$ $a_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.$

上面的结论中提到了 “$n$ 维向量”, 其实 “$n$ 维向量” 是两种向量的合称,第一种叫 “$n$ 维列向量”,即 $n$ 行 $1$ 列,形如:

$a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.$
第二种叫 “$n$ 维行向量”,即 $1$ 行 $n$ 列,形如:

$b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.$
观察可知,题目中给出的是 $3$ 维列向量,选项中给出的向量的排布组合方式是横向的,因此组合形成的是 $3$ 行 $3$ 列的向量组,符合使用上述有关结论的条件。

此外,为了方便计算,这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法,如下:
只要主对角线的两侧有任一侧有用 $0$ 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

$\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

注:上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

$\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

注:上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项:

$\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.$

当 $-c_{1} \neq 0$ 时,$a_{1},a_{2},a_{3}$ 的线性相关不成立。

B 项:

$\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.$
当 $c_{1} \neq 0$ 时,$a_{1},a_{2},a_{4}$ 的线性相关不成立。

C 项:

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.$

$a_{1},a_{3},a_{4}$ 的线性相关性恒成立。

D 项:

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.$

当 $-c_{3}-c_{4} \neq 0$ 时,$a_{2},a_{3},a_{4}$ 的线性相关不成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

EOF

2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.$, 则 $E(X^{2})=$__.

二、解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

$P{X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $(k=0,1,2,\dots).$

于是我们有:

$C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda}.$

由于在泊松分布中,$D(X)$ $=$ $E(X)$ $=$ $\lambda.$

而且我们知道 $D(X)$ 和 $E(X)$ 有如下关系:

$D(X)$ $=$ $E(X^2)-E^{2}(X)$ $\Rightarrow$ $E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $E^{2}(X)$ $=$ $\lambda$ $+$ $\lambda^{2}.$

因此,只要我们求出 $\lambda$ 的数值,也就是用 $C$ 表示出 $\lambda$ 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 $C=\lambda^{k}e^{-\lambda}$ 用 $C$ 表示出 $\lambda$ 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 $C$ 表达出 $\lambda$, 那么表达式中也会含有未知变量 $k$.

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 $E(X^{2})$, 就必须知道 $D(X)$ 和 $E^{2}(X)$, 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 $\lambda$ 的数值,而要知道 $\lambda$ 的数值必然需要通过已知的常数 $C$ 来确定,根据公式,$C$ 与 $\lambda$ 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

$\frac{C}{k!}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$

但是,上面这个公式中存在一个未知量 $k.$

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 $k$ 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 $k$ 的值,也没有可供解出 $k$ 的关系式。不过,既然要解出 $k$ 就先来想想 $k$ 的含义吧。

在泊松分布的定义中,$X$ 是随机变量,由泊松分布公式中的 “$P{X=k}$” 我们知道,$k$ 就是用来给 $X$ 赋值的,不同的 $k$ 值对应不同的概率,而 $k$ 的取值范围是 $0,1,2,\dots n.$ 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 $k$ 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 $1$, 即:

$\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{C}{k!}$ $=$ $C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ $=1.$

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) $e$ 的表示方法。

$e$ 有两种表示方法,如下:

方法一:$e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.$

方法二:$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.$

注意:$0!=1.$

于是,我们有:

$C\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{1}{k!}$ $=$ $Ce$ $=$ $1$ $\Rightarrow C$ $=$ $\frac{1}{e}$ $=$ $e^{-1}.$

又因为 $C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda},$ 我们有:

$\lambda^{k}e^{-\lambda}$ $=$ $e^{-1}.$

于是有:

$\lambda$ $=$ $1$, $k=1.$

到这里就解出 $\lambda$ 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 $E(X^{2}):$

$E(X^2)$ $=$ $\lambda+\lambda^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2.$

综上可知,本题的正确答案是:$2$

EOF

2012 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设 $A,B,C$ 是随机事件,$A$ 与 $C$ 互不相容,$P(AB)$ $=$ $\frac{1}{2}$, $P(C)$ $=$ $\frac{1}{3}$, 则 $P(AB|\bar{C})$ $=$__.

二、解析

$A$与 $C$ 互不相容 $\Rightarrow$ $A$ $\cap$ $C$ $=$ $\phi$ $\Rightarrow$ $P(AC)$ $=$ $P(\phi)$ $=$ $P(\phi \cap B)$ $\Rightarrow$ $P(AC \cap B)$ $=$ $0$.

于是,我们有:

$P(AB|\bar{C})$ $=$ $\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}$ $=$ $\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{3}{4}$.

综上可知,正确答案:$\frac{3}{4}$.

EOF

2008 年研究生入学考试数学一选择题第 6 题解析

一、题目

设随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 的泊松分布,则 $P {X=E(X^{2})}$ $=$__.

二、解析

每年考研数学一试卷中填空题的最后一题基本都是考一个概率论中的知识。本题考察的知识很明确,就是:泊松分布。

泊松分布的概念如下:

设随机变量 $X$ 的概率分布为:


$P {X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $(\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)$


则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,记为 $X$ $\backsim$ $P(\lambda)$.

此外,在泊松分布中,数学期望 $E(X)$ $=$ $\lambda$, 方差 $D(X)$ $=$ $\lambda$.

最后,我们还需要知道 $E(X)$ 与 $D(X)$ 的关系公式:

$D(X)$ $=$ $E(X^{2})$ $-$ $[E(X)]^{2}$.

由题目信息可知,该题中泊松分布的参数 $\lambda=1$, 于是我们知道:

$E(X)$ $=$ $D(X)$ $=$ $1$.

由于题目中要求的表达式中含有 “$E(X^{2})$”, 而在 $E(X)$ 与 $D(X)$ 的关系式中也含有 “$E(X^{2})$”, 于是,我们有:

$E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $[E(X)]^{2}$.

进而有:

$E(X^{2})$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2$.

于是,我们要求的表达式就变成了:

$P{X=E(X^{2})}$ $\Rightarrow$ $P{X=2}$.

至此,我们已经知道了泊松分布的计算公式中的两个未知量的数值,分别是:

$\lambda$ $=$ $1$, $k$ $=$ $E(X^{2})$ $=$ $2$.

于是,根据泊松分布的计算公式,我们有:

$P$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}$ $=$ $\frac{e^{-1}}{2 \times 1}$ $=$ $\frac{1}{e}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2e}$.

综上可知,正确答案就是:$\frac{1}{2e}$.

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设 $A$, $B$ 为随机事件,若 $0$ $<$ $P(A)$ $<$ $1$, $0$ $<$ $P(B)$ $<$ $1$, 则 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 的充分必要条件是 ( )

( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\bar{A})$.

( C ) $P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( D ) $P(\bar{B}|A)$ $<$ $p(B|\bar{A})$.

二、解析

本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道,如果事件 $A$ 和 $B$ 要满足充要条件就要有 $A$ $\rightarrow$ $B$ 且 $B$ $\rightarrow$ $A$.

但是,如果满足以下情况,也可以确定 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件:

设有事件 $A$, $B$, $C$, 当存在以下情况:

$A$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $A$ 且 $B$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。

对于本题而言,直接把题目中所给的形式 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 转换成选项中所给的形式,以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式,可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式,之后再化简选项中所给的形式,由于化简过程中都是全程使用的等价符号,因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的,如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样,则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。

首先对题目中的原式进行化简,根据条件概率的公式,我们有:

$P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.

又因为:

$P(A \bar{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

原式 $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A) – P(AB)}{1-P(B)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(B)]$ $>$ $P(B)[P(A)-P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(B)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(B)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

接下来,通过观察题目我们知道,$A$ 选项和 $B$ 选项的区别只是大于和小于符号,$C$ 选项和 $D$ 选项的区别也是如此。因此,我们只需要分别对 $A$ 选项和 $C$ 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。

对 $A$ 选项进行化简:

$P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.

又因为:

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B) – P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

由此,我们知道,$A$ 选项对,$B$ 选项错。

为了保险起见,我们可以在对 $C$ 选项做一个计算:

$P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B| \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A \bar{B})P(\bar{A})$ $>$ $P(\bar{A}B)P(A)$.

又因为:

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;

$P(\bar{A} B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

因此,可以知道,选项 $C$ 和 $D$ 都不正确。

综上可知,正确选项是:$A$.

EOF

充分条件必要条件和充要条件(图文解析)

一、充分条件

若由 $A$ 能够推导出 $B$, 但是由 $B$ 不能够推导出 $A$, 则称 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件($B$ 的充分不必要条件是 $A$.)。

从集合的角度看,就是 $A \in B$, 如图 1:

图 1
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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,且 $P(B)$ $=$ $0.5$ ,$P(A-B)$ $=$ $0.3$, 则 $P(B-A)$ $=$ ( )

( A ) $0.1$

( B ) $0.2$

( C ) $0.3$

( D ) $0.4$

二、解析

本题的关键点是“相互独立”,即 $A$ 事件与 $B$ 事件是两个相互独立的事件,$A$ 事件的发生不会影响 $B$, $B$ 事件的发生也不会影响 $A$. 由于 $A$ 事件的发生与否都不影响 $B$ 事件的发生与否,由此我们知道,若 $A$ 与 $B$ 相互独立,那么 $A$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立,$B$ 与 $\bar{A}$ 同样相互独立。因此,我们可以在接下来的计算中,使用带有 $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$ 的式子代替带有 $A$ 与 $B$ 的式子进行化简。

根据概率论中关于事件的独立性方面的相关知识,我们知道:

$A$与 $B$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.

综上,于是有:

$P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$;

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)P(\bar{B})$;

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$;

根据概率论减法公式,我们知道(这个公式没有设置 $A$ 和 $B$ 的关系,即是说,只要 $A$ 和 $B$ 是两个事件就是用这个公式计算,自然也可以应用于相互独立的事件。):

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

题目中给出的条件有:

$P(B)$ $=$ $0.5$, $P(A-B)$ $=$ $0.3$

根据逆事件(对立事件)的知识,我们还知道:

$P(\bar{B})$ $=$ $1$ $-$ $P(B)$ $=$ $0.5$;

$P(B)$ $=$ $1$ $-$ $P(\bar{B})$ $=$ $0.5$.

于是,将 $P(A-B)$ 中的 $B$ 用 $\bar{B}$ 替换后得到:

$P(A-B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P[A(1-\bar{B})]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A-A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $[P(A)$ $-$ $P(AA \bar{B})]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A)$ $+$ $P(A \bar{B})$ $=$ $P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)P(\bar{B})$ $=$ $P(A)$ $\cdot$ $0.5$ $=$ $0.3$.

注:由于 $A$ $\cap$ $A$ $=$ $A$, 即 $AA$ $=$ $A$, 所以:$P(A)$ $-$ $P(AA \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A \bar{B})$, 下面的类似计算过程中将省略这一步。

于是有:$P(A)$ $=$ $\frac{0.3}{0.5}$ $=$ $0.6$.

又因为:

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P[(1- \bar{A})B]$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(B-\bar{A}B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(B)$ $+$ $P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$.

由于,$P(A)$ $=$ $0.6$, 则,$P(\bar{A})$ $=$ $0.4$.

于是有:

$P(B-A)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$ $=$ $0.4$ $\cdot$ $0.5$ $=$ $0.2$.

综上可知,本题的正确选项是:$B$.

三、一个错误的解法

本文开头提到了,本题的关键点是“相互独立”。如果没有注意到这个关键点会发生什么呢?没有注意到这个关键点的话,可能会出现如下错误的思考方式和解法。

在概率论中有一个公式是下面这样的:

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

如果根据这个公式计算,那么本题将十分简单(数学一中也不会出这么“直观”的题吧 :-)):

已知:$P(B)$ $=$ $0.5$, $P(A-B)$ $=$ $0.3$, 那么:

$P(A-B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $0.5$ $=$ $0.3$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $=$ $0.8$ $\Rightarrow$ $P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$ $=$ $0.5$ $-$ $0.8$ $=$ $-0.3$.

但是,我们观察选项可知,并没有哪个选项是 $-0.3$, 而且 $P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$ 这个公式是有前提条件的,那就是:

很显然,在独立事件中,不可能出现 $A$ $\subset$ $B$ 或者 $B$ $\subset$ $A$ 的情况。

因此我们知道,在使用一个公式前,一定要仔细审查,确保该公式的适用范围符合当前的解题环境,不能只是因为题目中的参数可以和公式中的参数对应就直接拿来使用。

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2015 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

若 $A$, $B$ 为任意两个随机事件,则 ( )

( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.

( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.

( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

二、解析

我们知道,$AB$ $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$.

于是,我们知道,$AB$ $\subset$ $A$, $AB$ $\subset$ $B$.

接下来,根据概率的基本性质中的可比性:

设 $A$, $B$ 是两个事件,若 $A$ $\subset$ $B$, 则有:


$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

于是,我们知道:

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②

接下来,将 ① 式与 ② 式联立可得:

$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

综上可知,本题的正确选项是:$C$.

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理解互斥事件与对立事件(图文)

先来看一下互斥事件与对立事件的定义。

互斥事件的定义:

互斥事件(互不相容):当 $AB$ $=$ $\varnothing$ (也可以写成 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$)时,称事件 $A$ 与 事件$B$ 互不相容或互斥,事件 $A$, $B$ 不能同时发生.

对立事件的定义:

对立事件(逆事件):若 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$ 且 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 则称 $A$ 与 $B$ 互为逆事件,也称互为对立事件. $A$ 的对立事件记为 $\bar{A}$.

总的来说,互斥事件是一个比对立事件更广泛一些的概念,这一点从互斥事件与对立事件各自的定义上也可以看出来。互斥事件只限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 而对立事件不仅限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 还限制了 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$. 很显然,互斥事件的限制范围更宽松,因此能表示的范围也更大。

我们可以将互斥事件和对立事件理解成包含和被包含的关系:

对立必然互斥,互斥不一定对立。

如果要用普通语言表述互斥事件与对立事件,那就是:

对立是要么一定且只能是我,要么就一定且只能是你;

互斥是如果不是我,则可能是你,也可能另外的其他人。

为了进一步辅助理解,我画了两张图,大致表示出了对立事件和互斥事件,如下。

图 1 表示 $A$ 与 $B$ 为对立事件时其相互之间的关系:

图 1. 对立事件示意图

图 2 表示 $A$ 与 $B$ 为互斥事件时其 相互之间的关系:

图 2. 互斥事件示意图

注:本文中的 “$\Omega$” 表示当前语境下的样本空间,即当前语境下所有样本点组成的集合。

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2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续,其 $2$ 阶导函数 $f”(x)$ 的图形如图 1 所示,则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点的个数为 ( )

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析 | 荒原之梦
图 1.

二、解析

如图 2 所示,令左边的曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_{1}$, 坐标原点为点 $x_{2}$, 右边曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_{3}$:

2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析 | 荒原之梦
图 2.

由于本题涉及 2 阶导数,因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定:

若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处 $f”(x_{0})$ $=$ $0$ (或 $f”(x_{0})$ 不存在,但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处连续),若 $f”(x)$ 在 $x_{0}$ 的左、右两侧邻域内异号,则 $(x_{0}$, $f(x_{0}))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点。

我们知道,对于连续函数的图像曲线而言,拐点处的图像曲线要么等于零,要么不存在。图 2 中的 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ ( $f”(x_{2})$ 虽然不存在,但是由题目中给出的“函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续”的条件我们知道,$f”(x_{2})$ 在点 $x_{2}$ 的左右两侧邻域是连续的,可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 $x_{1}$ 两侧的函数都为正($f”(x)$ 的图像在 $x$ 轴上方),因此,不满足“左右两侧邻域内异号”的条件,因此,点 $x_{1}$ 不是函数 $f(x)$ 的拐点。点 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 两侧邻域的函数图像均异号,因此点 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 满足函数拐点存在的充分条件,函数 $f(x)$ 有两个拐点。

综上可知,本题的正确选项是:$C$.

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