## 题目

$$( A ) (ad-bc)^{2}$$
$$( B ) -(ad-bc)^{2}$$
$$( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}$$
$$( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}$$

## 题目

( A ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x).$

( B ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$.

( C ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x)$.

( D ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$.

## 二、解析

$E(XY^{2})=$ $E(X)E(Y^{2})=$ $E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=$ $\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).$

EOF

## 二、解析

### 1. 正态分布

$$X \sim N(\mu,\sigma^{2}).$$

### 2. 二维正态分布

$(X,Y)$ $\sim$ $N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho).$

① $X$ $\sim$ $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$; $Y$ $\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$;

② $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $\rho=0.$ 我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像：

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

$$P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.$$

$P\{XY-Y<0\}$ $=$ $P\{Y(X-1)<0\}$ $=$ $P\{Y>0,X-1<0\}$ $+$ $P\{Y<0,X-1>0\}$ $=$ $P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}$ $=$ $P\{Y>0\}P\{X<1\}$ $+$ $P\{Y<0\}P\{X>1\}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2}.$

EOF

## 一、题目

( A ) $a_{1},a_{2},a_{3}.$

( B ) $a_{1},a_{2},a_{4}.$

( C ) $a_{1},a_{3},a_{4}.$

( D ) $a_{2},a_{3},a_{4}.$

## 二、解析

$n$ 个 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2}$, $\dots$ $a_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.$

$a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.$

$b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.$

$\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

$\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

A 项：

$\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.$

B 项：

$\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.$

C 项：

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.$

$a_{1},a_{3},a_{4}$ 的线性相关性恒成立。

D 项：

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.$

EOF

## 二、解析

$P{X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $(k=0,1,2,\dots).$

$C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda}.$

$D(X)$ $=$ $E(X^2)-E^{2}(X)$ $\Rightarrow$ $E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $E^{2}(X)$ $=$ $\lambda$ $+$ $\lambda^{2}.$

$\frac{C}{k!}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$

$\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{C}{k!}$ $=$ $C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ $=1.$

$e$ 有两种表示方法，如下：

$C\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{1}{k!}$ $=$ $Ce$ $=$ $1$ $\Rightarrow C$ $=$ $\frac{1}{e}$ $=$ $e^{-1}.$

$\lambda^{k}e^{-\lambda}$ $=$ $e^{-1}.$

$\lambda$ $=$ $1$, $k=1.$

$E(X^2)$ $=$ $\lambda+\lambda^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2.$

EOF

## 二、解析

$A$与 $C$ 互不相容 $\Rightarrow$ $A$ $\cap$ $C$ $=$ $\phi$ $\Rightarrow$ $P(AC)$ $=$ $P(\phi)$ $=$ $P(\phi \cap B)$ $\Rightarrow$ $P(AC \cap B)$ $=$ $0$.

$P(AB|\bar{C})$ $=$ $\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}$ $=$ $\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{3}{4}$.

EOF

## 二、解析

$P {X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $(\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)$

$D(X)$ $=$ $E(X^{2})$ $-$ $[E(X)]^{2}$.

$E(X)$ $=$ $D(X)$ $=$ $1$.

$E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $[E(X)]^{2}$.

$E(X^{2})$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2$.

$P{X=E(X^{2})}$ $\Rightarrow$ $P{X=2}$.

$\lambda$ $=$ $1$, $k$ $=$ $E(X^{2})$ $=$ $2$.

$P$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}$ $=$ $\frac{e^{-1}}{2 \times 1}$ $=$ $\frac{1}{e}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2e}$.

EOF

## 一、题目

( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\bar{A})$.

( C ) $P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( D ) $P(\bar{B}|A)$ $<$ $p(B|\bar{A})$.

## 二、解析

$A$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $A$ 且 $B$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。

$P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.

$P(A \bar{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.

$P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B) – P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

$P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B| \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A \bar{B})P(\bar{A})$ $>$ $P(\bar{A}B)P(A)$.

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;

$P(\bar{A} B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

EOF

## 一、题目

( A ) $0.1$

( B ) $0.2$

( C ) $0.3$

( D ) $0.4$

## 二、解析

$A$与 $B$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.

$P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$;

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)P(\bar{B})$;

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$;

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

$P(B)$ $=$ $0.5$, $P(A-B)$ $=$ $0.3$

$P(\bar{B})$ $=$ $1$ $-$ $P(B)$ $=$ $0.5$;

$P(B)$ $=$ $1$ $-$ $P(\bar{B})$ $=$ $0.5$.

$P(A-B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P[A(1-\bar{B})]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A-A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $[P(A)$ $-$ $P(AA \bar{B})]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A)$ $+$ $P(A \bar{B})$ $=$ $P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)P(\bar{B})$ $=$ $P(A)$ $\cdot$ $0.5$ $=$ $0.3$.

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P[(1- \bar{A})B]$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(B-\bar{A}B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(B)$ $+$ $P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$.

$P(B-A)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$ $=$ $0.4$ $\cdot$ $0.5$ $=$ $0.2$.

## 三、一个错误的解法

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

$P(A-B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $0.5$ $=$ $0.3$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $=$ $0.8$ $\Rightarrow$ $P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$ $=$ $0.5$ $-$ $0.8$ $=$ $-0.3$.

EOF

## 一、题目

( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.

( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.

( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

## 二、解析

$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②

$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

EOF

EOF

## 一、题目

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

EOF