一、题目
已知 $f^{\prime}(0)=0$, 且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 求极限:
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\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} = ?
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继续阅读“拉格朗日显神威:求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目”已知 $f^{\prime}(0)=0$, 且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 求极限:
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\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} = ?
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继续阅读“拉格朗日显神威:求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目”已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}+a x+b}{(x-1)(x+2)}, & x \neq 1, x \neq-2, \\ 2, & x=1,\end{array}\right.$
且 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续, 则 $(a, b) = ?$
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继续阅读“在无穷量存在的式子中代入极限值的时候,必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值”$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x-\sin x \cos x \cos 2 x) = ?
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继续阅读“对式子整体通过乘除法连接的部分的极限值可以直接求出并代入,通过加减法连接的部分的极限值就不能这样代入”已知 $a$, $b$ 为常数, $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{3}}+\frac{a}{x^{2}}\right)$ $=$ $b$, 则 $(a, b) = ?$
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继续阅读“整体有极限部分无极限时要想办法构造出有极限的式子”已知 $a_{0}>0$, $a_{n}=a_{n-1}\left(a_{n-1}+1\right)(n=1,2, \cdots)$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} = ?$
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继续阅读“判断数列的增减性既可以用除法也可以用减法”$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}} = ?
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继续阅读“极限的“段位”也有高低:有些极限需要分“段”讨论”如果要比较两个有限量 $a$ 和 $b$ 的大小,我们直接用减法,判断 $a – b$ 的结果是大于零还是小于零即可。
但是,如果要比较两个无穷大量的大小,还能用减法吗?
下面就以无穷大量 $\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n}$ 和 $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的比较为例进行说明。
继续阅读“比较两个无穷大(或无穷小)量的大小,需要用除法而不是减法”已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 为正数 $(m \geqslant 2)$, 则:
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I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} = ?
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继续阅读“特例法一般只能用在选择题中:因为特例只能得到正确答案的一部分”求解数列极限:
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I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) = ?
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继续阅读“往前走一步,视野大不同:对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形”已知:
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x_{n}=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2(1+2+\cdots+k)}\right)^{n}
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则:
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\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} = ?
$$
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继续阅读“如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算?”$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-(\sin x)^{x}}{x^{2} \arctan x} = ?
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继续阅读“不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换:也可以尝试提取公因式”东八区时间2023 年 06 月 15 日晚上 22 时 37 分许,荒原之梦网全站已启用 V2.2 版本的站点 LOGO.
继续阅读“荒原之梦网已启用 2.2 版站点 LOGO”$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}\left[\int_{2 x-1}^{2 x+1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-\int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right]=?
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继续阅读“不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小”$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{2 x}}{1+x^{2}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}=?
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继续阅读“取大头:分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法”