拉格朗日显神威:求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f^{\prime}(0)=0$, 且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 求极限:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} = ?
$$

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在无穷量存在的式子中代入极限值的时候,必须在分子分母中同时进行代换操作——不能只在分子或者分母中代入极限值

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}+a x+b}{(x-1)(x+2)}, & x \neq 1, x \neq-2, \\ 2, & x=1,\end{array}\right.$

且 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续, 则 $(a, b) = ?$

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对式子整体通过乘除法连接的部分的极限值可以直接求出并代入,通过加减法连接的部分的极限值就不能这样代入

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x-\sin x \cos x \cos 2 x) = ?
$$

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比较两个无穷大(或无穷小)量的大小,需要用除法而不是减法

一、前言 前言 - 荒原之梦

如果要比较两个有限量 $a$ 和 $b$ 的大小,我们直接用减法,判断 $a – b$ 的结果是大于零还是小于零即可。

但是,如果要比较两个无穷大量的大小,还能用减法吗?

下面就以无穷大量 $\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n}$ 和 $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的比较为例进行说明。

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特例法一般只能用在选择题中:因为特例只能得到正确答案的一部分

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 为正数 $(m \geqslant 2)$, 则:

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} = ?
$$

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往前走一步,视野大不同:对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形

一、题目题目 - 荒原之梦

求解数列极限:

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) = ?
$$

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不是只有“等于”才表示有极限:“趋于零”也意味着极限存在

一、前言 前言 - 荒原之梦

在计算极限的过程中,如果计算的结果显示是趋于零的,那么,就表明这个极限是存在的,我们的计算步骤也就可以结束了。

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