## 一、题目

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $(\frac{\sin x}{1+\cos x}$ $+$ $|x|)$ $dx$ $=$__.

## 二、解析

$\frac{\sin (-x)}{1+\cos(-x)}$ $=$ $\frac{-\sin x}{1+\cos x}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

$|-x|$ $=$ $|x|$ $\Rightarrow$ $g(-x)$ $=$ $g(x)$.

$\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $2$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.

EOF

## 一、题目

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$, 则 $k$ $=$__.

## 二、解析

$\lim_{x \rightarrow x_{x_{0}}}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$, $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1+\frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$.

$1$ $+$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x }$ $\Rightarrow$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $1$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $\frac{1+\tan x}{1+\tan x}$ $=$ $\frac{-2 \tan x}{1+\tan x}$.

$(1)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x} \frac{-2\tan x}{1+\tan x} \frac{1}{\sin kx}}$. (2)

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}$ $=$ $e$.

$(2)$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}}$. (3)

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$.

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2x}{kx}$ $=$ $-\frac{2}{k}$.

$e^{-\frac{2}{k}}$ $=$ $e$ $\Rightarrow$ $-$ $\frac{2}{k}$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $-$ $2$.

EOF

## 二、解析

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $1$, 即：

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+a \ln(1+x) + bx \sin x}{kx^{3}}$ $=$ $1$.

1. $\sin x$ $=$ $x$ $+$ $o(x^{2})$;

2. $\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $o(x^{3})$.

$1$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}$.

$\left\{\begin{matrix} 1+a=0,\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k. \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a=-1,\\ b=-\frac{1}{2},\\ k=-\frac{1}{3}. \end{matrix}\right.$

EOF

## 二、解析

(1) 当 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ 为互异实根时，微分方程得通解为 $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $e^{\lambda_{1}x}$ $+$ $C_{2}$ $e^{\lambda_{2}x}$;

(2) 当 $\lambda_{1}$ $=$ $\lambda_{2}$ 时，通解为 $y(x)$ $=$ $(C_{1}+C_{2}x)$ $e^{\lambda_{1}x}$;

(3) 当 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ （复数根）时，通解为 $y(x)$ $=$ $e^{\alpha x}$ $(C_{1}$ $\cos \beta$ $x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta$ $x)$.

$\lambda^{2}$ $+$ $2$ $\lambda$ $+$ $3$ $=$ $0$. (1)

$x$ $=$ $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}$. (2)

$i^{2}$ $=$ $-1$.

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}$ $=$ $-1$ $\pm$ $i$ $\sqrt{2}$.

$y$ $=$ $e^{-x}$ $(C_{1}$ $\cos \sqrt{2}x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \sqrt{2}$ $x$ $)$

EOF

## 二、解析

$(xy)’$ $=0$.

$xy$ $=$ $C$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $\frac{C}{x}$

EOF

## 一、题目

( A ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 收敛.

( B ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 发散.

( C ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 收敛.

( D ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 发散.

## 二、解析

### 方法一：反例法

A 项：

① $u_{n}$ $\geqslant$ $u_{n+1}$, $(n = 1,2,3, \dotsc)$;

② $\lim$ $u_{n}$ $=$ $0$,

$p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ $\left\{\begin{matrix} 收敛 & p>1,\\ 发散 & p \leqslant 1. \end{matrix}\right.$

B 项：

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$.

D 项：

### 方法二：用级数收敛的必要条件推导证明

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛 $\Rightarrow$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$;

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$ $\nRightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛。

$a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ $\leqslant$ $M^{2}$ $b_{n}^{2}$. 又因为 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛，故有：

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $|b_{n}|$ $=0$.

$\lim_{n=1}^{\infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $0$.

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}|b_{n}||b_{n}|}{|b_{n}|}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}b_{n}^{2}}{|b_{n}|}$ $=$ $0$.

① 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛.

② 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散.

$\sum_{n=1}^{\infty}$ ${a^{2} b_{n}^{2}}$ 收敛.

EOF

## 一、题目

( A ) $M$ $>$ $N$ $>$ $K$

( B ) $M$ $>$ $K$ $>$ $N$

( C ) $K$ $>$ $M$ $>$ $N$

( D ) $K$ $>$ $N$ $>$ $M$

## 二、解析

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}$ $dx$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}}$ $dx$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $[\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}$ $+$ $\frac{2x}{1+x^{2}}]$ $dx$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $[$ $1$ $+$ $\frac{2x}{1+x^{2}}]$ $dx$

$y$ $=$ $x$, $x$ $\in$ $(-\infty,$ $+\infty)$ 就是一个典型的奇函数，如图 1：

$f(x)$ $=$ $\frac{2x}{1+x^{2}}$

$\frac{2(-x)}{1+(-x)^{2}}$ $=$ $-\frac{2x}{1+x^{2}}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{2x}{1+x^{2}}$ $dx$ $=$ $0$.

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$.

$d(x^{\mu})$ $=$ $\mu$ $x^{\mu-1}$ $dx$

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$ $+$ $\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$ $+$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $d(1+x^{2})$.

$\int$ $\frac{1}{x}$ $dx$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $c$.

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $+$ $\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2})$ $=$ $x$ $+$ $\ln |1+x^{2}|$ $+$ $c$ $|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $=$ $\frac{\pi}{2}$ $+$ $|\ln[1+(\frac{\pi}{2})^{2}]|$ $+$ $c$ $-$ $(-\frac{\pi}{2})$ $-$ $|\ln[1+(-\frac{\pi}{2})^{2}]|$ $-$ $c$ $=$ $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$ $=$ $\pi$.

$\int_{a}^{b}$ $1$ $dx$ $=$ $b$ $-$ $a$.

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$.

$\int$ $\frac{2x}{1-x^{2}}$ $dx$ $=$ $-\int$ $\frac{1}{1-x^{2}}$ $=$ $-\ln |1-x^{2}|$ $+$ $c$;

$\int$ $\frac{2x}{1-x^{2}}$ $dx$ $=$ $\int$ $(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})$ $dx$ $=$ $-\ln|x-1|$ $-$ $\ln|x+1|$ $+$ $c$ $=$ $-\ln|x^{2}-1|$ $+$ $c$.

$K$ $\geqslant$ $M$ $\geqslant$ $N$, 正确选项是：C

EOF

## 一、题目

( A ) 若 ${x_{n}}$ 收敛，则 ${f(x_{n})}$ 收敛.

( B ) 若 ${x_{n}}$ 单调，则 ${f(x_{n})}$ 收敛.

( C ) 若 ${f(x_{n})}$ 收敛，则 ${x_{n}}$ 收敛.

( D ) 若 ${f(x_{n})}$ 单调，则 ${x_{n}}$ 收敛.

## 二、解析

$\{1,-1,1,-1,1,-1\}$.

• 复合函数的单调性

“同增异减”的含义就是，如果外层函数是增函数，则复合函数的增减性与内函数的增减性一致；

“同增异减”也可以理解成，如果复合前两个函数都为增函数或者都为减函数，则复合函数为增函数；如果复合前两个函数一个为增函数，一个为减函数，则复合函数为减函数。

• 复合函数的奇偶性

① 如果内函数为奇函数，则复合函数的奇偶性与外函数的奇偶性保持一致；

② 如果内函数为偶函数，则复合函数必为偶函数。

• 复合函数的周期性

① 若内函数为周期函数，则复合函数一定也是周期函数；

② 若外函数为周期函数，则复合函数不一定为周期函数。

• 复合函数的有界性

① 若内函数有界且外函数有界，则复合函数一定有界；

② 若内函数无界但外函数有界，则复合函数一定有界；

（上述两条总结一下就是，无论内函数是否有界，只要外函数有界，则复合函数一定有界。）

③ 若内函数有界但外函数无界或者内外函数都无界，这种情况下不能确定或者否定复合函数是有界还是无界，如果要确定或否定，还需要其他条件辅助分析。

A 项：

${x_{n}}$ 收敛 → ${x_{n}}$ 有界；

$f(x)$ 有界 + ${x_{n}}$ 有界 → ${f(x_{n})}$ 有界；

A 项错误。

B 项：

${x_{n}}$ 单调 + $f(x_{n})$ 单调 → ${f(x_{n})}$ 单调；

$f(x_{n})$ 有界 → ${f(x_{n})}$ 有界；

${f(x_{n})}$单调有界 → ${f(x_{n})}$ 收敛。

B 项正确。

C 项：

C 项错误。

D 项：

$f(x_{n})$ 有界 → ${f(x_{n})}$ 有界；

${f(x_{n})}$单调有界 → ${f(x_{n})}$ 收敛；

D 项错误。

EOF

## 一、题目

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}$ $\frac{2n+3}{(2n+1)!}$ $=$__

( A ) $\sin$ $1$ $+$ $\cos 1$.

( B ) $2$ $\sin 1$ $+$ $\cos 1$.

( C ) $2$ $\sin 1$ $+$ $2$ $\cos 1$.

( D ) $2$ $\sin 1$ $+$ $3$ $\cos 1$.

## 二、解析

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{2n+3}{(2n+1)!}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{2n+1+2}{(2n+1)!}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{2n+1}{(2n+1)!}$ $+$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{2}{(2n+1)!}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{1}{(2n)!}$ $+$ $2$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{1}{(2n+1)!}$.

$\sin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $x$ $\in R$;

$\cos x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$, $x$ $\in$ $R$.

$\sin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{1}{(2n+1)!}$

$\cos x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{1}{(2n)!}$

EOF

## 题目

$$( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.$$

$$( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.$$

$$( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.$$

$$( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.$$