荒原之梦

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{\top}}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为（）

难度评级：

继续阅读“能表示任意向量的向量一定等价于单位向量”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{\top}}$, 且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a$ 的取值为（）

难度评级：

继续阅读“当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，线性方程组无解”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$. 若 $\boldsymbol{\beta}$ 可 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“只要说非齐次线性方程组的解“不唯一”——就是有“无穷多解””

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值（）

难度评级：

继续阅读“线性无关的矩阵乘以线性无关的矩阵一定得线性无关的矩阵”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关，则 $t$ 的取值为（）

难度评级：

继续阅读“当题目问“取值是多少”而不是“等于多少”时，正确的答案则很可能不是一个具体的数字——可能是多个具体数字，也可能是某个取值范围”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $t=?$

难度评级：

继续阅读“线性相关的向量组对应的行列式一定不满秩”

一、前言

如果存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1} A P = B$ 成立，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作：

$$
A \sim B
$$

那么，相似矩阵之间都有哪些性质呢？下面的内容就汇总了考研数学中所需掌握的相似矩阵的性质。

继续阅读“相似矩阵的性质汇总”

一、题目

已知，四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A B}+6 \boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{B}=?$

难度评级：

继续阅读“二阶矩阵伴随矩阵的快速求解方法：主对角线对调，副对角线变号”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$, 且 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{B}=?$

难度评级：

继续阅读“常数乘在矩阵的左边或者右边效果一样”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}|=3$, 将 $\boldsymbol{A}$ 第二列的 $-5$ 倍加到第一列得到矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则 $|A^{*} B|=?$

难度评级：

继续阅读“伴随矩阵与“左行右列”规则结合的一道题目”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则 $\left(\frac{1}{3} \boldsymbol{A}\right)^{-1}=?$

难度评级：

继续阅读“不是所有题目都有巧妙做法：这道常数矩阵的逆矩阵题目直接算就很简单”

一、题目

已知 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{3}=(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{3}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}=?$

难度评级：

继续阅读“矩阵的运算千万不能直接套用数字的运算规律”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}\right)^{-1} \boldsymbol{A}\right]=?$

难度评级：

关于可逆矩阵的性质，可以参考《可逆矩阵的性质汇总》

继续阅读“逆矩阵的转置矩阵有啥性质你知道吗？”

一、前言

已知 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶 可逆矩阵，以下是其性质汇总。

继续阅读“可逆矩阵的性质汇总”

一、题目

已知，三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A^{*}}$ 的逆矩阵 $\left(A^{*}\right)^{-1}=?$

难度评级：

继续阅读“求解具体矩阵时一定记得先用对应的抽象矩阵公式化简”