标签： 高等数学基础

$f'(x_{0})$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $f_{\color{Red}{+}}'(x_{0})$ $=$ $f_{\color{Red}{-}}'(x_{0})$ $=$ $A$
Tips: 左导 $=$ 右导，则可导.

$f_{\color{Red}{-}}^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

$f_{\color{Red}{+}}^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

$f_{\color{Red}{-}}^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

$f_{\color{Red}{-}}^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

$f^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

$f^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，$m$ 和 $M$ 分别是该函数在区间 $[a, b]$ 上的最小值和最大值，$m$ $\leqslant$ $c$ $\leqslant$ $M$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $[a, b]$, 使 $f(\xi)$ $=$ $c$

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\neq$ $f(b)$, $c$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的一个常数，则必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $c$.

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\times$ $f(b)$ $<$ $0$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.
此外，如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上为单调函数，则必存在且唯一存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上必有界

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值

当 $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 时，函数值 $f(x_{0})$ 在一个上下有界的范围内反复变化无限多次，则点 $x_{0}$ 就是函数 $f(x)$ 的一个震荡间断点.
Tips: 震荡间断点属于第二类间断点.

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$
Tips: 无穷间断点属于第二类间断点.

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $=$ $B$, 其中，$A$ 和 $B$ 都是常数，且 $A$ $\neq$ $B$
Tips: 跳跃间断点属于第一类间断点.