大于四阶的常数矩阵乘法一般是不需要我们真的去计算的

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则秩 $r(\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{A})=?$

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已知极大线性无关组求解未知数的值:记得回头验证

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2, a,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a+1,3,1)^{\mathrm{\top}}$ 的一个极大线性无关组,则 $a=?$

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极大线性无关组就是所有线性无关向量的集合

一、题目题目 - 荒原之梦

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, $2)^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是()

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怎么保证这道题目中矩阵的秩为二:回头验证很重要

一、题目题目 - 荒原之梦

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{\top}}$ 的秩是 $2$, 则 $a=?$

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化简列向量组只能使用初等行变换吗?不是的,但最好只使用初等行变换

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\gamma}=$ $(a, b, c)^{\mathrm{\top}}$. 如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 则 $a=?$

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基础解系中解的个数就是系数矩阵中自由未知数的个数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵,若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)=?$

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能表示任意向量的向量一定等价于单位向量

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{\top}}$ 可以表示任意一个三维向量,则 $a$ 的取值为()

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当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时,线性方程组无解

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已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{\top}}$, 且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示,则 $a$ 的取值为()

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只要说非齐次线性方程组的解“不唯一”——就是有“无穷多解”

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已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$. 若 $\boldsymbol{\beta}$ 可 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示,且表示法不唯一,则 $a=?$

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线性无关的矩阵乘以线性无关的矩阵一定得线性无关的矩阵

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已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关,则 $a$ 的取值()

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当题目问“取值是多少”而不是“等于多少”时,正确的答案则很可能不是一个具体的数字——可能是多个具体数字,也可能是某个取值范围

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已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关,则 $t$ 的取值为()

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线性相关的向量组对应的行列式一定不满秩

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已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关,则 $t=?$

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二阶矩阵伴随矩阵的快速求解方法:主对角线对调,副对角线变号

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已知,四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A B}+6 \boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{B}=?$

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