一、题目
已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=2$, 且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $2 f(x)$, 则下列结论正确的是哪个 ( $\quad$ )
A. $f(-1)>2$
C. $f(1)>2 \mathrm{e}^{2}$
B. $f(-1)<\frac{2}{\mathrm{e}^{2}}$
D. $f(1)<2 \mathrm{e}^{2}$
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继续阅读“构造函数的技巧:什么样的式子求导可能会产生 1 阶导和 0 阶导?”已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=2$, 且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $2 f(x)$, 则下列结论正确的是哪个 ( $\quad$ )
A. $f(-1)>2$
C. $f(1)>2 \mathrm{e}^{2}$
B. $f(-1)<\frac{2}{\mathrm{e}^{2}}$
D. $f(1)<2 \mathrm{e}^{2}$
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继续阅读“构造函数的技巧:什么样的式子求导可能会产生 1 阶导和 0 阶导?”已知:
$$
f(x) = \lim_{t \rightarrow x} \sin x \cdot \left( \frac{t}{x} \right)^{\frac{t^{3}}{t – x}}
$$
则:
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) – x}{x^{3}} = ?
$$
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继续阅读“式子复杂不要怕,先分析其“型”,再确定求解之“法””已知曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的曲率圆为 $(x – 1)^{2} + (y – 1)^{2} = 2$, 则:
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{(1 + x)^{x} – 1} = ?
$$
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继续阅读“通过曲率圆和二阶导确定极限式子的值”当 $x \rightarrow 0$ 时,无穷小量:
$$
\begin{aligned}
& \alpha = \sqrt{1 + x \cos x} – \sqrt{1 + \sin x} \\
& \beta = \int _{0}^{e^{2x} – 1} \frac{\sin ^{2} t}{t} \mathrm{~d} t \\
& \gamma = \cos (\tan x) – \cos x
\end{aligned}
$$
的阶数由高到低次序为 ($\quad$)
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继续阅读“无穷小与有理化、积分、中值定理相结合的一道题目”已知函数 $f(x)$ 连续, $\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{\ln x}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 ( $\quad$ )
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继续阅读“应用恒等变形解题的核心思想:题目给啥我变啥”设函数 $f(x)$ 可导, $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导, 则 $(\quad)$
(A) $f(0) \neq 0$, $f^{\prime}(0)=0$
(C) $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=0$
(B) $f(0) \neq 0$, $f^{\prime}(0) \neq 0$
(D) $f(0)=0$, $f^{\prime}(0) \neq 0$
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继续阅读“绝对值函数怎么求导?”设可导函数 $f(x)>0$, 则:
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \ln \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)} = ?
$$
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继续阅读“遇到关于对数函数的式子,先将乘除变加减”已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & a \\
1 & 0 & b \\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}$, 三维列向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关, 而 $A \alpha_{1}$, $A \alpha_{2}$, $A \alpha_{3}$ 线性相关, 则参数 $a$ 和 $b$ 应满足什么关系?
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继续阅读“不可逆矩阵乘上一个可逆矩阵得不可逆矩阵”$$
I = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (\sqrt[n]{n} – 1)
$$
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继续阅读“用 e 抬起法去根号”大家在工科数学课程或者考研数学课程中都经常会用到“洛必达运算”,也就是对分式的分子和分母同时进行求导的一种运算。
其实,除了洛必达运算,还有与之对应的“同胞兄弟”:反向洛必达运算。
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继续阅读“洛必达与反向洛必达运算”$$
I = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x) (1-\sqrt{x}) \cdots (1- \sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } = ?
$$
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继续阅读“当分子中包含无穷多个因式的时候,该怎么计算极限?”$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x – \tan x}{\sin x – \sin(\sin x)} = ?
$$
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继续阅读“利用等价无穷小在分子或者分母中对元素做整体替换”$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cos t^{3} x} = \ ?
$$
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继续阅读“极限乘法运算中,极限非零的因子的极限可以直接代入”已知 $I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{(2 x-1)^{\alpha}}=\beta \neq 0$, 则:
$$
\begin{cases}
\alpha = ? \\
\beta = ?
\end{cases}
$$
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继续阅读“在无穷大的环境中,只有次幂最高的起作用”