2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 X 的概率分布为 P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots., 则 E(X^{2})=__.

解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).

于是我们有:

C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.

由于在泊松分布中,D(X)=E(X)=\lambda.

而且我们知道 D(X)E(X) 有如下关系:

D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.

因此,只要我们求出 \lambda 的数值,也就是用 C 表示出 \lambda 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 C=\lambda^{k}e^{-\lambda}C 表示出 \lambda 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 C 表达出 \lambda, 那么表达式中也会含有未知变量 k.

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 E(X^{2}), 就必须知道 D(X)E^{2}(X), 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 \lambda 的数值,而要知道 \lambda 的数值必然需要通过已知的常数 C 来确定,根据公式,C\lambda 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.

但是,上面这个公式中存在一个未知量 k.

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 k 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 k 的值,也没有可供解出 k 的关系式。不过,既然要解出 k 就先来想想 k 的含义吧。

在泊松分布的定义中,X 是随机变量,由泊松分布公式中的 “P{X=k}” 我们知道,k 就是用来给 X 赋值的,不同的 k 值对应不同的概率,而 k 的取值范围是 0,1,2,\dots n. 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 k 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 1, 即:

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) e 的表示方法。

e

有两种表示方法,如下:

方法一:e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.

方法二:e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.

注意:0!=1.

于是,我们有:

C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.

又因为 C=\lambda^{k}e^{-\lambda}, 我们有:

\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.

于是有:

\lambda=1,k=1.

到这里就解出 \lambda 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 E(X^{2}):

E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.

综上可知,本题的正确答案是:2

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2012 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

A,B,C 是随机事件,AC 互不相容,P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3},P(AB|\bar{C})=__.

解析

AC 互不相容 \Rightarrow A \cap C = \phi \Rightarrow P(AC)=P(\phi)=P(\phi \cap B) \Rightarrow P(AC \cap B)=0.

于是,我们有:

P(AB|\bar{C})=\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}=\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}=\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}=\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.

综上可知,正确答案:\frac{3}{4}.

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2008 年研究生入学考试数学一选择题第 6 题解析

题目

设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P {X=E(X^{2})}=__.

解析

每年考研数学一试卷中填空题的最后一题基本都是考一个概率论中的知识。本题考察的知识很明确,就是:泊松分布。

泊松分布的概念如下:

设随机变量 X 的概率分布为:

P {X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} (\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)

则称 X 服从参数为 \lambda 的泊松分布,记为 X \backsim P(\lambda).

此外,在泊松分布中,数学期望 E(X)=\lambda, 方差 D(X)=\lambda.

最后,我们还需要知道 E(X)D(X) 的关系公式:

D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.

由题目信息可知,该题中泊松分布的参数 \lambda=1, 于是我们知道:

E(X)=D(X)=1.

由于题目中要求的表达式中含有 “E(X^{2})“, 而在 E(X)D(X) 的关系式中也含有 “E(X^{2})“, 于是,我们有:

E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}.

进而有:

E(X^{2})=1+1^{2}=1+1=2.

于是,我们要求的表达式就变成了:

P{X=E(X^{2})} \Rightarrow P{X=2}.

至此,我们已经知道了泊松分布的计算公式中的两个未知量的数值,分别是:

\lambda=1,k=E(X^{2})=2.

于是,根据泊松分布的计算公式,我们有:

P=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{e^{-1}}{2 \times 1}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}.

综上可知,正确答案就是:\frac{1}{2e}

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2017 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

A,B 为随机事件,若 0<P(A)<1,0<P(B)<1, 则 P(A|B)>P(A|\bar{B}) 的充分必要条件是 ( )

( A ) P(B|A)>P(B|\bar{A}).

( B ) P(B|A)<P(B|\bar{A}).

( C ) P(\bar{B}|A)>P(B|\bar{A}).

( D ) P(\bar{B}|A)<p(B|\bar{A}).

解析

本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道,如果事件 AB 要满足充要条件就要有 A \rightarrow BB \rightarrow A.

但是,如果满足以下情况,也可以确定 AB 是互相的充要条件:

设有事件 A,B,C, 当存在以下情况:

A \rightarrow CC \rightarrow AB \rightarrow CC \rightarrow B, 则 AB 是互相的充要条件。

对于本题而言,直接把题目中所给的形式 P(A|B)>P(A|\bar{B}) 转换成选项中所给的形式,以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式,可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式,之后再化简选项中所给的形式,由于化简过程中都是全程使用的等价符号,因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的,如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样,则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。

首先对题目中的原式进行化简,根据条件概率的公式,我们有:

P(A|B)>P(A|\bar{B}) \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(B)}>\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}.

又因为:

P(A \bar{B})=P[A(1-B)]=P(A-AB)=P(A)-P(AAB)=P(A)-P(AB).

所以有:

原式 \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(B)}>\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)} \Rightarrow P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)] \Rightarrow P(AB)-P(AB)P(B)>P(B)P(A)-P(B)P(AB) \Rightarrow P(AB)>P(A)P(B).

接下来,通过观察题目我们知道,A 选项和 B 选项的区别只是大于和小于符号,C 选项和 D 选项的区别也是如此。因此,我们只需要分别对 A 选项和 C 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。

对 A 选项进行化简:

P(B|A)>P(B|\bar{A}) \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}.

又因为:

P(\bar{A}B)=P[(1-A)B]=P(B-AB)=P(B)-P(ABB)=P(B)-P(AB).

所以有:

\frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)} \Rightarrow P(AB)[1-P(A)]>P(A)[P(B)-P(AB)] \Rightarrow P(AB)-P(AB)P(A)>P(A)P(B)-P(A)P(AB) \Rightarrow P(AB)>P(A)P(B).

由此,我们知道,A 选项对,B 选项错。

为了保险起见,我们可以在对 C 选项做一个计算:

P(\bar{B}|A)>P(B| \bar{A}) \Rightarrow \frac{P(A \bar{B})}{P(A)}>\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})} \Rightarrow P(A \bar{B})P(\bar{A})> P(\bar{A}B)P(A).

又因为:

P(A \bar{B})=P(A)-P(AB); P(\bar{A} B)=P(B)-P(AB).

所以有:

[P(A)-P(AB)][1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A) \Rightarrow P(A)-P(A)P(A)-P(AB)+P(AB)P(A)>P(B)P(A)-P(AB)P(A)\nRightarrow P(AB)>P(A)P(B).

因此,可以知道,选项 C 和 D 都不正确。

综上可知,正确选项是:A

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充分条件必要条件和充要条件(图文解析)

充分条件

若由 A 能够推导出 B, 但是由 B 不能够推导出 A, 则称 AB充分不必要条件(B 的充分不必要条件是 A.)。

从集合的角度看,就是 A \sub B, 如图 1:

图 1

必要条件

若由 A 不能推导出 B, 但是由 B 可以推导出 A, 则称 AB 的必要不充分条件(B 的必要不充分条件是 A.)。

从集合的角度看,就是 B \sub A, 如图 2:

图 2

充要条件

若由 A 可以推导出 B, 而且由 B 也可以推导出 A, 则称 AB 的充分必要条件(B 的充分必要条件是 A.)。

从集合的角度看,就是 A=B, 如图 3:

图 3

“充要条件”是“充分必要条件”的简化称呼,和“充要条件”等价的表述还有“当且仅当”,“唯一条件”和“需要且仅需要”等表述,他们之间的关系如下所示:

充分必要条件 \Leftrightarrow 充要条件 \Leftrightarrow 唯一条件 \Leftrightarrow 当且仅当 \Leftrightarrow 需要且仅需要.

总结

“必要条件”指代的范围较大,“充分条件”指代的范围较小。为了方便记忆,我们可以使用下面这个顺口溜:

小充分,大必要。

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

设随机事件 AB 相互独立,且 P(B)=0.5,P(A-B)=0.3, 则 P(B-A)= ( )

( A ) 0.1

( B ) 0.2

( C ) 0.3

( D ) 0.4

解析

本题的关键点是“相互独立”,即 A 事件与 B 事件是两个相互独立的事件,A 事件的发生不会影响 B, B 事件的发生也不会影响 A. 由于 A 事件的发生与否都不影响 B 事件的发生与否,由此我们知道,若 AB 相互独立,那么 A\bar{B} 也相互独立,B\bar{A} 同样相互独立。因此,我们可以在接下来的计算中,使用带有 \bar{A}\bar{B} 的式子代替带有 AB 的式子进行化简。

根据概率论中关于事件的独立性方面的相关知识,我们知道:

AB 相互独立 \Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B).

综上,于是有:

P(AB)=P(A)P(B);

P(A \bar{B})=P(A)P(\bar{B});

P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P(B);

根据概率论减法公式,我们知道(这个公式没有设置 AB 的关系,即是说,只要 AB 是两个事件就是用这个公式计算,自然也可以应用于相互独立的事件。):

P(B-A)=P(B)-P(AB).

题目中给出的条件有:

P(B)=0.5,P(A-B)=0.3

根据逆事件(对立事件)的知识,我们还知道:

P(\bar{B})=1-P(B)=0.5;

P(B)=1-P(\bar{B})=0.5.

于是,将 P(A-B) 中的 B\bar{B} 替换后得到:

P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P[A(1-\bar{B})]=P(A)-P(A-A \bar{B})=P(A)-[P(A)-P(AA \bar{B})]=P(A)-P(A)+P(A \bar{B})=P(A \bar{B})=P(A)P(\bar{B})=P(A) \cdot 0.5 = 0.3.

注:由于 A \cap A = A, 即 AA=A, 所以:P(A)-P(AA \bar{B})=P(A)-P(A \bar{B}), 下面的类似计算过程中将省略这一步。

于是有:P(A)=\frac{0.3}{0.5}=0.6.

又因为:

P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P[(1- \bar{A})B]=P(B)-P(B-\bar{A}B)=P(B)-P(B)+P(\bar{A}B)=P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P(B).

由于,P(A)=0.6, 则,P(\bar{A})=0.4.

于是有:

P(B-A)=P(\bar{A})P(B)=0.4 \cdot 0.5=0.2.

综上可知,本题的正确选项是:B

一个错误的解法

本文开头提到了,本题的关键点是“相互独立”。如果没有注意到这个关键点会发生什么呢?没有注意到这个关键点的话,可能会出现如下错误的思考方式和解法。

在概率论中有一个公式是下面这样的:

P(B-A)=P(B)-P(A).

如果根据这个公式计算,那么本题将十分简单(数学一中不会出这么“直观”的题吧 :-)):

已知:P(B)=0.5,P(A-B)=0.3, 那么:

P(A-B)=P(A)-P(B)=P(A)-0.5=0.3 \Rightarrow P(A)=0.8 \Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A)=0.5-0.8=-0.3.

但是,我们观察选项可知,并没有哪个选项是 -0.3, 而且 P(B-A)=P(B)-P(A) 这个公式是有前提条件的,那就是:

A \subset B.

很显然,在独立事件中,不可能出现 A \subset B 或者 B \subset A 的情况。

因此我们知道,在使用一个公式前,一定要仔细审查,确保该公式的适用范围符合当前的解题环境,不能只是因为题目中的参数可以和公式中的参数对应就直接拿来使用。

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