## 解析

$P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).$

$C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.$

$D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.$

$\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.$

$e$

$C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.$

$\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.$

$\lambda=1,k=1.$

$E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.$

EOF

## 题目

$A,B,C$ 是随机事件，$A$$C$ 互不相容，$P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3},$$P(AB|\bar{C})=$__.

## 解析

$A$$C$ 互不相容 $\Rightarrow$ $A \cap C = \phi \Rightarrow P(AC)=P(\phi)=P(\phi \cap B) \Rightarrow P(AC \cap B)=0.$

$P(AB|\bar{C})=\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}=\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}=\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}=\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.$

EOF

## 解析

$P {X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} (\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)$

$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.$

$E(X)=D(X)=1.$

$E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}.$

$E(X^{2})=1+1^{2}=1+1=2.$

$P{X=E(X^{2})} \Rightarrow P{X=2}.$

$\lambda=1,k=E(X^{2})=2.$

$P=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{e^{-1}}{2 \times 1}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}.$

EOF

## 题目

$A,B$ 为随机事件，若 $0, 则 $P(A|B)>P(A|\bar{B})$ 的充分必要条件是 ( )

( A ) $P(B|A)>P(B|\bar{A})$.

( B ) $P(B|A).

( C ) $P(\bar{B}|A)>P(B|\bar{A})$.

( D ) $P(\bar{B}|A).

## 解析

$A \rightarrow C$$C \rightarrow A$$B \rightarrow C$$C \rightarrow B$, 则 $A$$B$ 是互相的充要条件。

$P(A|B)>P(A|\bar{B}) \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(B)}>\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.

$P(A \bar{B})=P[A(1-B)]=P(A-AB)=P(A)-P(AAB)=P(A)-P(AB)$.

$原式 \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(B)}>\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)} \Rightarrow P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)] \Rightarrow P(AB)-P(AB)P(B)>P(B)P(A)-P(B)P(AB) \Rightarrow P(AB)>P(A)P(B)$.

$P(B|A)>P(B|\bar{A}) \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.

$P(\bar{A}B)=P[(1-A)B]=P(B-AB)=P(B)-P(ABB)=P(B)-P(AB)$.

$\frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)} \Rightarrow P(AB)[1-P(A)]>P(A)[P(B)-P(AB)] \Rightarrow P(AB)-P(AB)P(A)>P(A)P(B)-P(A)P(AB) \Rightarrow P(AB)>P(A)P(B)$.

$P(\bar{B}|A)>P(B| \bar{A}) \Rightarrow \frac{P(A \bar{B})}{P(A)}>\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})} \Rightarrow P(A \bar{B})P(\bar{A})> P(\bar{A}B)P(A)$.

$P(A \bar{B})=P(A)-P(AB);$ $P(\bar{A} B)=P(B)-P(AB).$

$[P(A)-P(AB)][1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A) \Rightarrow P(A)-P(A)P(A)-P(AB)+P(AB)P(A)>P(B)P(A)-P(AB)P(A)\nRightarrow P(AB)>P(A)P(B)$.

EOF

## 充要条件

“充要条件”是“充分必要条件”的简化称呼，和“充要条件”等价的表述还有“当且仅当”，“唯一条件”和“需要且仅需要”等表述，他们之间的关系如下所示：

$充分必要条件 \Leftrightarrow 充要条件 \Leftrightarrow 唯一条件 \Leftrightarrow 当且仅当 \Leftrightarrow 需要且仅需要$.

## 总结

“必要条件”指代的范围较大，“充分条件”指代的范围较小。为了方便记忆，我们可以使用下面这个顺口溜：

EOF

## 题目

( A ) $0.1$

( B ) $0.2$

( C ) $0.3$

( D ) $0.4$

## 解析

$A$$B$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $P(AB)=P(A)P(B)$.

$P(AB)=P(A)P(B)$;

$P(A \bar{B})=P(A)P(\bar{B})$;

$P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P(B)$;

$P(B-A)=P(B)-P(AB)$.

$P(B)=0.5,P(A-B)=0.3$

$P(\bar{B})=1-P(B)=0.5$;

$P(B)=1-P(\bar{B})=0.5$.

$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P[A(1-\bar{B})]=P(A)-P(A-A \bar{B})=P(A)-[P(A)-P(AA \bar{B})]=P(A)-P(A)+P(A \bar{B})=P(A \bar{B})=P(A)P(\bar{B})=P(A) \cdot 0.5 = 0.3$.

$P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P[(1- \bar{A})B]=P(B)-P(B-\bar{A}B)=P(B)-P(B)+P(\bar{A}B)=P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P(B)$.

$P(B-A)=P(\bar{A})P(B)=0.4 \cdot 0.5=0.2$.

### 一个错误的解法

$P(B-A)=P(B)-P(A)$.

$P(A-B)=P(A)-P(B)=P(A)-0.5=0.3 \Rightarrow P(A)=0.8 \Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A)=0.5-0.8=-0.3$.

$A \subset B$.

EOF