一、题目
下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个?
(A) $\int_{0}^{x}(|t|+t) d t$
(B) $|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$
(C) $|\tan x-\sin x|$
(D) $\sin |x|+\cos |x|$
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继续阅读“带绝对值的函数不一定不可导:用定义分析是普适的方法”下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个?
(A) $\int_{0}^{x}(|t|+t) d t$
(B) $|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$
(C) $|\tan x-\sin x|$
(D) $\sin |x|+\cos |x|$
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继续阅读“带绝对值的函数不一定不可导:用定义分析是普适的方法”已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义,且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗?
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继续阅读“一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在,但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在”函数 $y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是(),单调减区间是(),极值是(),凹区间是(),凸区间是()
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继续阅读“一题搞定有关函数图像的几个关键问题:单调区间,凹凸区间,极值点”已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的,则 $y=y(x)$ 的极值点是多少?
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继续阅读“题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值”曲线 $x=\cos ^{3} t$, $y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少?
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继续阅读“寻找曲线上最小的曲率半径(曲率的倒数)”已知 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)
\\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定,则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=?$, $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=?$, $y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=?$
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继续阅读“求解参数方程任意一点处的曲率”$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}} = ?
$$
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继续阅读“这道题用麦克劳林公式(泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况)可以很快求解”下面的矩阵中与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪一个?
(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & -1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$
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继续阅读“若实对称矩阵有相同的正负惯性指数,则一定合同”下列矩阵中, 正定矩阵是哪一个?
(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\ -3 & 5 & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & 7\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}5 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & -1\end{array}\right]$
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继续阅读“正定矩阵典型例题来啦”下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是哪一个矩阵:
(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 5\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & -1\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ -3 & 0 & 3\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
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继续阅读“这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了”你知道在哪些形式的矩阵中,矩阵对角线上的元素就是该矩阵的特征值吗?
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!注意: 实对称矩阵主对角线上的元素不一定是特征值。
继续阅读“什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值?”已知 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵,$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $3$ 维线性无关的列向量,且有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=3 \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$, 又知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}3 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 可以是:
(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2},-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right]$.
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继续阅读“相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值:做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成”