一、题目
曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长可以表示为（）
难度评级：
继续阅读“计算平面曲线的弧长：附考研数学中计算平面曲线弧长的全部公式”求解以 Y 轴为区间绕 Y 轴旋转的曲线所形成的立体的体积
一、题目
由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 可以表示成什么？
示意图：
难度评级：
继续阅读“求解以 Y 轴为区间绕 Y 轴旋转的曲线所形成的立体的体积”一个式子两个未知数怎么办——将两个未知数分别放在式子的两端
一、题目
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=?$
示意图：
难度评级：
继续阅读“一个式子两个未知数怎么办——将两个未知数分别放在式子的两端”无穷大和趋于无穷大有什么区别？做完这道题你就理解了！
一、题目
下列命题，哪些是正确的，哪些是错误的？
(1) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$.
(2) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim \limits_{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(3) $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散, 则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散, 也可能收敛.
(4) 若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散, 则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛.
难度评级：
继续阅读“无穷大和趋于无穷大有什么区别？做完这道题你就理解了！”使用放缩法判断反常积分的敛散性：大缩小更缩，小散大更散
一、题目
判断下面反常积分的敛散性：
(1) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
(2) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$.
(3) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$.
(4) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$.
难度评级：
继续阅读“使用放缩法判断反常积分的敛散性：大缩小更缩，小散大更散”你能找到下面哪个反常积分是发散的吗
一、题目
下列反常积分发散的是哪个？
(A) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$.
(B) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$.
(C) $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}}
\mathrm{~d} x$.
(D) $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$.
难度评级：
继续阅读“你能找到下面哪个反常积分是发散的吗”含有无穷多项相加的数列极限问题很可能就可以转化为积分问题
一、题目
$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n^{2}}}\right)=?
$$
难度评级：
继续阅读“含有无穷多项相加的数列极限问题很可能就可以转化为积分问题”不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数
一、题目
$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数”将特征向量乘以一个倍数 k 并不会改变其原本对应的特征值
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，其特征值是 $1,3,-2$, 相应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$, 若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=?$
难度评级：
继续阅读“将特征向量乘以一个倍数 k 并不会改变其原本对应的特征值”你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的邻域内可导, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域内单调增的 ( )
(A) 充分必要条件
(B) 必要条件但非充分条件
(C) 充分条件但非必要条件
(D) 既非必要也非充分条件
难度评级：
继续阅读“你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关”考研数学最重要的就是公式和计算：来算一个矩阵的特征值吧
一、题目
已知，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right]$, 那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值是（）
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继续阅读“考研数学最重要的就是公式和计算：来算一个矩阵的特征值吧”分块矩阵的 n 次方：初等矩阵的 n 次方、秩为 1 的矩阵的 n 次方
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{5}=?$
难度评级：
继续阅读“分块矩阵的 n 次方：初等矩阵的 n 次方、秩为 1 的矩阵的 n 次方”秩为 1 的矩阵的 n 次方你会求解吗
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{10}=?$
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继续阅读“秩为 1 的矩阵的 n 次方你会求解吗”带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法
一、题目
下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个？
(A) $\int_{0}^{x}(|t|+t) d t$
(B) $|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$
(C) $|\tan x-\sin x|$
(D) $\sin |x|+\cos |x|$
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继续阅读“带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法”一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗？
难度评级：
继续阅读“一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在”