荒原之梦

一、题目

已知，当 $x>-2$ 时 $f(x)$ 连续，且满足 $2 f(x)\left[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=\frac{(x+1) \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}}$, 则当 $x>-2$ 时, $f(x)=?$

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继续阅读“遇到变限积分就想着怎么求导吗？一般是这样的，但也可以试试积分哦”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=?$

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继续阅读“根号下的 x 有一个重要性质，一定要记住！”

一、题目

已知 $|y|<1$, 则 $K(y)$ $=$ $\int_{-1}^{1} | x-y | +\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x = ?$

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继续阅读“当被积函数含有绝对值时一般先考虑用分段的方法去绝对值——此外，在凑微分时一般把 $e^{x}$ 凑到 $d$ 中，因为凑微分的核心就是【使积分变得更简单】”

一、题目

已知，当 $0 \leqslant x \leqslant \pi$ 时 $f(x)=x$, 且对一切 $x$ 都有 $f(x)=f(x-\pi)+\sin x$, 则 $I = \int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x=?$

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继续阅读“当函数 f 的括号中标明的自变量不是单独的一个字母时一般都可以用变量代换，且这样的函数通常都具有某种周期性”

一、题目

$$
I = \int_{3}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^{4} \sqrt{x^{2}-2 x}} = ?
$$

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继续阅读“这道题看似不能用三角函数代换，但其实题目中已经给我们提示了：把未知变已知，把不同变相同”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} x \ln (1+x) \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“当分母的次幂大于分子的次幂时一定要通过拆分的方式给分母降幂：只有这样才能继续积分”

一、题目

$$
I=\int_{-1}^{1} x \arcsin x \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“带有三角函数的积分一般可以尝试配方法，但一般不要将三角函数放到微分符号 d 中”

一、题目

$$
I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} = ?
$$

其中 $a<x<b$.

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继续阅读“这道不定积分题有三个不同的答案：但每个答案都是对的”

一、题目

已知 $f(x), \varphi(x)$ 均为连续函数, $a \neq 0$ 且为常数, $\int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x$ $=$ $A$, 则 $I$ $=$ $\int_{0}^{a} x[f[\varphi(x)]+f[\varphi(a-x)]] \mathrm{~ d} x=?$

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继续阅读“解决数学问题的常用思路：把未知转化为已知”

一、题目

已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，且 $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$, 则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=?$

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继续阅读“定积分换元的时候一定不要忘记修改积分上下限”

一、题目

二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 经正交变换化为标准形 $3 y_{1}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a=?$

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继续阅读“错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简”