2013年考研数二第16题解析:计算旋转体的体积

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形,$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴,$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积,若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。

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2012年考研数二第23题解析:二次型基础、二次型化为标准型、秩

题目

已知:

$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & a\\
0 & a & -1
\end{bmatrix},
$$

二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=X^{\top}(A^{\top}A)X$ 的秩为 $2$.

$(Ⅰ)$ 求实数 $a$ 的值;

$(Ⅱ)$ 求正交变换 $x=Qy$, 将 $f$ 化为标准形。

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2012年考研数二第22题解析:行列式的按行(列)展开定理、非齐次线性方程组求解

题目

设:

$$
A=\begin{bmatrix}
1 & a & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 0\\
0 & 0 & 1 & a\\
a & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$

$$
\beta=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$

$(Ⅰ)$ 计算行列式 $|A|$.

$(Ⅱ)$ 当实数 $a$ 为何值时,方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解,并求其通解。

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2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限

题目

$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根;

$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,并求此极限。

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