一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶可导,请证明:
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a)
$$
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继续阅读“一点处导数的定义公式也适用于导数的导数(二阶导数)”已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶可导,请证明:
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a)
$$
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继续阅读“一点处导数的定义公式也适用于导数的导数(二阶导数)”已知 $f(x)=|x-a| g(x)$, 其中函数 $g(x)$ 连续,请讨论一阶导函数 $f^{\prime}(a)$ 的存在性。
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继续阅读“表达形式上不相同的导数值不一定不相等”一致 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+2^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$
请讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性。
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继续阅读“一点处导数的表达式一致,但该点处的导数不一定存在”已知 $a_{1}=1$, $a_{2}=2$, $3 a_{n+2}-4 a_{n+1}+a_{n}=0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.
则:$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$
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继续阅读“在涉及数列的题目中,一定要注意该数列有多少项:并不是所有的数列都是 n 项”已知 $\cos x-1$ $=$ $x \sin \alpha(x)$, 其中 $|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2}$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha(x)$ 是 ( ).
A. 比 $x$ 高阶的无穷小
C. 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小
B. 比 $x$ 低阶的无穷小
D. 与 $x$ 等价的无穷小
已知,当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时, $\ln ^{\alpha}(1+2 x)$ 和 $(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小,则 $\alpha$ 的取值范围是多少?
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继续阅读“无穷小的阶数与无穷小量的系数无关”已知函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a b = ?$
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继续阅读“连续函数的三点相等定律:连续点及连续点左右两侧的函数值相等”已知:
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=1
$$
则 $a \ = \ ?$, $b \ = \ ?$
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继续阅读“如果分母等于零的式子存在极限值,则分子也一定等于零”已知函数:
$$
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}
$$
则该函数的第二类间断点的个数为 ( $\quad$ )
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继续阅读“函数间断点,要么是无定义的点(分母为零),要么是分段函数的分段点”已知:
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}+\frac{2^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n}\right)
\end{aligned}
$$
则:
$$
I \ = \ ?
$$
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继续阅读“这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗?”已知:
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\arctan x}-\mathrm{e}^{\arcsin x}}{x^{3}}
\end{aligned}
$$
则:
$$
I \ = \ ?
$$
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继续阅读“这个分子可以首先进行有理化操作吗?”已知:
$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\arctan x}}{x-\sin x}
\end{aligned}
$$
则:
$$
I \ = \ ?
$$
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继续阅读“分子是两式相减等于零的极限怎么算?先做分子有理化”已知:
$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\sqrt{n^{2}-1^{2}}}{n^{2}}+\frac{2+\sqrt{n^{2}-2^{2}}}{n^{2}}+\cdots+\frac{n+\sqrt{n^{2}-n^{2}}}{n^{2}}\right)
\end{aligned}
$$
则:
$$
I \ = \ ?
$$
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继续阅读“无穷多项的数列问题常常可以利用定积分的定义转化为定积分”已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ $=$ $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a = ?$
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继续阅读“使用 e 抬起运算法的注意事项:分清楚数字 1 和极限 1”$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^{2}}-1} = ?
$$
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继续阅读“等价无穷小公式用不上怎么办:加加减减,恒等变形”