分类： 高等数学

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+2 x+4 x^{2}}$, 则 $f^{(100)}(0)=?$

难度评级：

继续阅读“定点处的高阶导数：尝试泰勒公式（附常用麦克劳林公式的求和版写法）”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0, \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？可导吗？

难度评级：

继续阅读“一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$.

请证明：存在 $\eta \in(1,2)$, 使 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}$ 成立。

难度评级：

继续阅读“用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$

请证明：存在 $\xi \in(1,2)$, 使 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}$ 成立。

难度评级：

继续阅读“证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理”

一、题目

证明下面的不等式：

$$
\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y\right| \leq \frac{1}{2}|x-y|, \quad (x \neq y)
$$

难度评级：

继续阅读“泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征：两量相减，有 1 次幂和 2 次幂”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, $f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$, 则 $f^{\prime}(a)$ 与 $0$ 之间存在怎么样的关系？

难度评级：

继续阅读“最值点处导函数的性质汇总”

一、题目

已知 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 $3$, 最小值是 $-29$, 且 $a>0$, 则 $a = ?$, $b = ?$

难度评级：

继续阅读“最值不一定产生于极值点处”

一、题目

已知函数 $f(x, y)$ 可微，且对于任意的 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} > 0$, $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$, 且不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)<f\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 成立，则 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间以及 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 之间必须满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上的偏导数本质上就是一元函数的导数”

一、题目

函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“偏导数连续则可微，但可微不意味着偏导数一定连续”

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 皆存在，则以下说法中正确的是哪个？

(A) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续

(B) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在

(C) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim \limits_{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

难度评级：

继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在代表原函数在 X 轴和 Y 轴分量上连续”

一、题目

已知，可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x}>1$, $\frac{\partial f}{\partial y}<-1$, $f(0,0)=0$, 则下列结论正确的是

(A) $f(1,-1)>2$.

(B) $f(-1,1)>-2$.

(C) $f(-1,-1)<0$.

(D) $f(1,1)>1$.

难度评级：

继续阅读“涉及斜率（一阶偏导数）和函数值大小于自变量的大小关系的问题可以尝试用画图的方式解决”

一、题目

若函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义，则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$, $\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分必要条件吗？

难度评级：

继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系”

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，则下列命题正确的是哪个？

(A) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(B) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(C) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在

(D) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在

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继续阅读“真真假假，眼花缭乱：你知道哪一个条件和二元函数可微有关系吗？”

一、题目

下面的函数的一阶导函数在点 $x = 0$ 处连续吗？

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c} & x^{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ & 0, & x=0
\end{array}\right.
$$

难度评级：

继续阅读“一点处的（偏）导数存在不能说明该（偏）导数在该点处连续：要让一点处导数存在只需要有“两个点”，但若要导数在一点处连续需要有“无数个致密的点””

一、题目

函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是下面哪一个？

(A) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$.

(B) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$.

(C) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在.

(D) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$.

难度评级：

继续阅读“二元偏导数中两个变量都趋于同一个坐标点时极限仍存在才叫偏导数连续”