考研数学公式归档 - 第2页共61页

考研高等数学思维导图：00-常用的中学公式 [GS-20250201]

版本号：
GS-20250201（2025 考研高等数学二第 01 版）

涉及的知识点

01. 常见函数的图形
02. 因式分解
03. 常见不等式
04. 对数运算
05. 数列
06. 排列组合
07. 一元二次方程

08. 三角函数
09. 函数与反函数
10. 常用数值
11. 偶函数和奇函数
12. 虚数
13. 充分条件和必要条件
14. 补充内容

由向量的个数判断向量组的线性无关性（C019）

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问题

若向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性表示, 且 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性无关, 则以下关于 $t$ 和 $s$ 大小关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $t$ $\geqslant$ $s$

[B]. $t$ $\leqslant$ $s$

[C]. $t$ $>$ $s$

[D]. $t$ $=$ $s$

答案

$t$ $\leqslant$ $s$

简单记法：无关向量组不能由比它个数少的向量组线性表出

由向量的个数判断向量组的线性相关性（C019）

问题

若向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性表示, 且 $t$ $>$ $s$, 则以下关于向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 一定是零向量组

[B]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 不存在

[C]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性无关

[D]. $\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性相关

答案

$\boldsymbol{\beta}_{1}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性相关

简单记法：多的能由少的线性表示, 则多的必线性相关

线性表示的部分与整体的关系（C019）

问题

若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 中的部分向量线性表示，则以下说法中正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{\beta}$ 或许可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示

[B]. $\boldsymbol{\beta}$ 不可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示

[C]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示

[D]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 中的另一部分线性表示

答案

$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 整体线性表示

线性相关与线性无关边缘处性质的推论（C019）

问题

已知，$n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性无关，则以下关于则任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 之间关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

[B]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 不一定可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示

[C]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均不可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示

[D]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，但表示法不唯一

答案

任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

线性相关与线性无关边缘处的性质（C019）

问题

已知向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性无关, 而向量组 $($ $\boldsymbol{\beta}$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性相关，则以下关于向量 $\boldsymbol{\beta}$ 和向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 之间关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

[B]. $\boldsymbol{\beta}$ 或许可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示

[C]. $\boldsymbol{\beta}$ 不可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示

[D]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，但表示法不唯一

答案

$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

向量可由向量组线性表示的充要条件：所形成的矩阵的秩（C019）

问题

以下哪个选项可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 和向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性相关？

选项

[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\neq$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

答案

$\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\textcolor{red}{\beta}}\right)$

向量可由向量组线性表示的充要条件：非齐次线性方程组的解（C019）

问题

如果非齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\boldsymbol{\beta}$ 无解，是否可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示？

选项

[A]. 不能

[B]. 不确定

[C]. 能

答案

不能

向量 $\textcolor{orange}{\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}}$ 能由向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性表示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
非齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\boldsymbol{\beta}$ 有解

向量可由向量组线性表示的充要条件：系数的存在性（C019）

问题

如果不存在常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成立，是否可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示？

选项

[A]. 不确定

[B]. 能

[C]. 不能

答案

不能

向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能由向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性表示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
存在常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成立

线性相关的向量组的秩（C019）

问题

若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性相关，则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$

[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$

[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$

[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$

答案

向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性相关
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $<$ $\textcolor{red}{m}$

线性无关的向量组的秩（C019）

问题

若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性无关，则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$

[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$

[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$

[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$

答案

向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线性无关
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $=$ $\textcolor{red}{m}$

向量组秩的定义（C019）

问题

根据定义，向量组的（）被称为向量组的秩？

选项

[A]. 向量组中向量的个数

[B]. 极大无关组中所含向量的维度

[C]. 极大无关组中所含向量的个数

[D]. 向量组中非零向量的个数

答案

向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。

向量组“高维相关”的引申结论（C018）

问题

已知，向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 线性相关，则对应的低维向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 相关性如何？

选项

[A]. 无法判断

[B]. 线性无关

[C]. 线性相关

答案

高维相关，则低维相关

向量组“低维无关”的引申结论（C018）

问题

已知，向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 线性无关，则对应的高维向量组 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 相关性如何？

选项

[A]. 线性相关

[B]. 线性无关

[C]. 无法判断

答案

低维无关，则高维无关

向量组“部分相关”的引申结论（C018）

问题

如果一个向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 中有一部分向量线性相关，则整个向量组的线性相关性如何？

选项

[A]. 整体相关

[B]. 无法判断

[C]. 整体无关

答案

部分相关，则整体相关