一、题目
已知函数 $f(x)=(\sin x)^{\cos x}$, $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形”标签： 高等数学练习题
复合函数求导的一个简单例题
一、题目
已知函数 $f(x)$ 连续且可微，且 $f^{\prime}(0)=1$, $\varphi(x)=\ln (1+2 x)$, 则 $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f[\varphi(x)]\right)_{x=0}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“复合函数求导的一个简单例题”求解一点处的导数时，不一定要用定义法
一、题目
已知：
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\arctan x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.
$$
则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“求解一点处的导数时，不一定要用定义法”求解三角函数问题时不要忘记利用其周期性
一、题目
$$
I = \int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{d} \theta = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求解三角函数问题时不要忘记利用其周期性”对变限积分做求导运算之后，要再通过积分运算变回来的话，需要保持原本的积分上下限不变
一、题目
若函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$, $x > 0$, 则 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“对变限积分做求导运算之后，要再通过积分运算变回来的话，需要保持原本的积分上下限不变”时刻牢记：可导函数的驻点对应着其极值点
一、题目
已知函数 $f(x)$ $=$ $3 x^{2}+A x^{-3}$ $(x>0)$, 且 $A$ 为正的常数, 则 $A$ 至少为多少时, 有 $f(x) \geqslant 20$ $(x>0)$.
难度评级：
继续阅读“时刻牢记：可导函数的驻点对应着其极值点”判断二元函数单条件极值的一道基础题
一、题目
函数 $f(x, y)$ $=$ $1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积是多少？
难度评级：
继续阅读“判断二元函数单条件极值的一道基础题”二元函数非条件极值判断的一道概念题
通过二元复合函数判断一元函数的极值点条件
一、题目
已知二元函数 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ $=$ $0$, $F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ $>$ $0$.
若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是什么？
难度评级：
继续阅读“通过二元复合函数判断一元函数的极值点条件”判断二元函数的极值
一、题目
已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\lim \limits_{(x . y) \rightarrow(0.0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ $=$ $-2$, 则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的导数和极值情况如何？
难度评级：
继续阅读“判断二元函数的极值”借助积分运算，通过全微分方程求解原函数
一、题目
已知：
$$
\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y
$$
则：
$$
f(x, y) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“借助积分运算，通过全微分方程求解原函数”在不进行积分运算的情况下，通过偏微分方程求解原函数
一、题目
已知函数 $z$ $=$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)$, 且 $f(u)$ 可导, 若有：
$$
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$
则：
$$
f(1) = ?
$$
$$
f^{\prime}(1) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“在不进行积分运算的情况下，通过偏微分方程求解原函数”做了这道题你会对全微分有更深入的理解
一、题目
已知函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f[x+1, \ln (1+x)]$ $=$ $(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$, $f\left(x^{2}, x-1\right)$ $=$ $x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$.
则：
$$
\mathrm{d} f(1,0) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“做了这道题你会对全微分有更深入的理解”二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号
一、题目
已知积分区域 $D$ $=$ $\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1 \}$
则：
$$
I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号”利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简积分运算
一、题目
已知积分区域 $D$ $=$ $\left\{(x, y) \Big| | x|\leqslant 1, \quad |y| \leqslant 1, \quad \mathrm{~d} x^{2}+y^{2} \geqslant x\right \}$, 则：
$$
\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma = ?
$$
难度评级：
继续阅读“利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简积分运算”