差分方程解的可加性(B032)

问题

已知:

$\overline{y_{t}}$ 与 $\widetilde{y_{t}}$ 分别是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ 和 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{2}(t)$ 的解。

则,以下哪个选项是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ $+$ $f_{2}(t)$ 的解?

选项

[A].   $\overline{y_{t}}$ $\times$ $\widetilde{y_{t}}$

[B].   $$

[C].   $\overline{y_{t}}$ $-$ $\widetilde{y_{t}}$

[D].   $\frac{\overline{y_{t}}}{\widetilde{y_{t}}}$


显示答案

$\overline{y_{t}}$ $+$ $\widetilde{y_{t}}$

非齐次差分方程通解的构成(B032)

问题

已知:

$y^{*}$ 是非齐次差分方程的一个特解;$y_{C}(t)$ 是相应齐次差分方程的通解。

则,相应的非齐次差分方程的通解为:$y_{t}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $+$ $y_{t}^{*}$

[B].   $y_{t}$ $=$ $\frac{y_{C}(t)}{y_{t}^{*}}$

[C].   $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $\times$ $y_{t}^{*}$

[D].   $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $-$ $y_{t}^{*}$


显示答案

$y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $+$ $y_{t}^{*}$

一阶常系数齐次线性差分方程的构型(B032)

问题

已知,$a$ 为非零常数,则以下哪个选项可以被称为一阶常系数齐次线性差分方程?

选项

[A].   $y_{t+1}$ $\times$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$

[B].   $y_{t+1}$ $+$ $y_{t}$ $=$ $a$

[C].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $1$

[D].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$


显示答案

$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$

求解可降阶的微分方程:$y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$(B031)

问题

如何将微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$ 降阶为一阶微分方程?

选项

[A].   令 $u$ $=$ $y^{\prime}$, 则有:$u$ $u^{\prime}$ $=$ $f(y, u u^{\prime})$

[B].   令 $u$ $=$ $y^{\prime}$, 则有:$u^{\prime}$ $=$ $f(y, u)$

[C].   令 $u$ $=$ $y^{\prime}$, 则有:$u$ $u^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, u^{\prime})$

[D].   令 $u$ $=$ $y^{\prime}$, 则有:$u$ $u^{\prime}$ $=$ $f(y, u)$


显示答案

观察可知,方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$ 的特点是不显含自变量 $x$, 于是

令 $u$ $=$ $y^{\prime}$, 则有 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} y}$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $u$ $u^{\prime}$.

于是,微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$ 变为一个以 $y$ 为自变量,$u(y)$ 为末知函数的一阶微分方程:

$u$ $u^{\prime}$ $=$ $f(y, u)$.

求解可降阶的微分方程:$y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$(B031)

问题

如何将微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 降阶为一阶微分方程?

选项

[A].   令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则有:$u^{\prime \prime}(x)$ $=$ $f(x, u^{\prime})$

[B].   令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则有:$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$

[C].   令 $u$ $=$ $x^{\prime}(y)$, 则有:$u^{\prime}(y)$ $=$ $f(x, u)$

[D].   令 $u$ $=$ $x^{\prime}(y)$, 则有:$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$


显示答案

观察可知,方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 的特点是不显含末知函数 $y$, 于是:

令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 即可变为一阶微分方程:

$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$

求解可降阶的微分方程:$y^{(n)}(x)$ $=$ $f(x)$(B031)

问题

已知 $(n)$ 表示 $n$ 阶导,则如何求出 $y^{(n)}(x)$ $=$ $f(x)$ 中的 $f(x)$ ?

选项

[A].   对原式等号两端的表达式同时乘以 $\frac{1}{n}$ 次幂即可

[B].   无法计算出 $f(x)$

[C].   对原式等号两端的表达式做 $n$ 次求导即可

[D].   对原式等号两端的表达式做 $n$ 次积分即可


显示答案

对原式等号两端的表达式做 $n$ 次积分即可

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解:当 $\alpha$ $\pm$ $i \beta$ 为特征方程的 $k$ 重共轭复根时(B030)

问题

若 $\alpha$ $\pm$ $i \beta$ 为$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的 $k$ 重共轭复根,且 $($ $2 k$ $\leqslant$ $n$ $)$, 则,该微分方程通解中会含有以下哪个选项中的内容?

选项

[A].   $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$

[B].   $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$

[C].   $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$

[D].   $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $x$ $+$ $D_{2}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$


显示答案

$\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解:当 $\lambda_{0}$ 为特征方程的 $k$ 重实根时(B030)

问题

若 $\lambda_{0}$ 为 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的 $k$ 重实根,其中 $($ $k$ $\leqslant$ $n$ $)$, 则,该微分方程通解中会含有以下哪个选项中的内容?

选项

[A].   $($ $C_{1}$ $\cdot$ $C_{2}$ $x$ $\cdot$ $\cdots$ $\cdot$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

[B].   $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

[C].   $\frac{1}{\lambda_{0}}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{x}$

[D].   $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$


显示答案

$($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解:当有 $n$ 个不同的实根时(B030)

问题

若 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有 $n$ 个不同的实根 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\cdots$, $\lambda_{n}$, 则,该微分方程的通解 $y$ $=$ $?$

选项

[A].   $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{\lambda_{1}}}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{\lambda_{2}}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{\lambda_{n}}}$

[B].   $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $-$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $-$ $\cdots$ $-$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$

[C].   $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{x}$

[D].   $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$


显示答案

$y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的一般形式(B030)

问题

已知 $p_{i}$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $)$ 为常数,且,$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为:
$y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$.

则,关于该方程对应的特征方程的一般形式,以下选项中正确的是哪个?

选项

[A].   $\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $1$

[B].   $\lambda^{n}$ $-$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $-$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $-$ $\cdots$ $-$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $-$ $p_{n}$ $=$ $0$

[C].   $\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $0$

[D].   $\lambda^{n}$ $+$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\lambda$ $=$ $0$


显示答案

$\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $0$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式(B030)

问题

已知 $p_{i}$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $)$ 为常数,则,关于 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式,以下选项中正确的是哪个?

选项

[A].   $y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $1$

[B].   $y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$

[C].   $y^{(n+1)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-2}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n-1}$ $y$ $=$ $0$

[D].   $P_{1}$ $y^{(n)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{3}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n+1}$ $y$ $=$ $0$


显示答案

$y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$

二阶欧拉方程的构型(B029)

问题

已知 $a$ 和 $b$ 为常数,则以下方程中,哪个是二阶欧拉方程?

选项

[A].   $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $b$ $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x)$

[B].   $a$ $x$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[C].   $x^{3}$ $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $a$ $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[D].   $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$


显示答案

$x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

二阶常系数线性非齐次方程的特解:当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则,当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 $a$ 不是特征根时,该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$


显示答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根,$k$ $=$ $1$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式,$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解:当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则,当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时,该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$


显示答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根,$k$ $=$ $0$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式,$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.