标签： 考研数学

$\overline{y_{t}}$ $+$ $\widetilde{y_{t}}$

$y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $+$ $y_{t}^{*}$

$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$

观察可知，方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$ 的特点是不显含自变量 $x$, 于是

令 $u$ $=$ $y^{\prime}$, 则有 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} y}$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $u$ $u^{\prime}$.

于是，微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$ 变为一个以 $y$ 为自变量，$u(y)$ 为末知函数的一阶微分方程：

$u$ $u^{\prime}$ $=$ $f(y, u)$.

观察可知，方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 的特点是不显含末知函数 $y$, 于是：

令 $u$ $=$ $y^{\prime}(x)$, 则微分方程 $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$ 即可变为一阶微分方程：

$u^{\prime}(x)$ $=$ $f(x, u)$

对原式等号两端的表达式做 $n$ 次积分即可

$\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$

$($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

$y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$

$\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $0$

$y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$

$x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根，$k$ $=$ $1$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根，$k$ $=$ $0$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.