工信部备案系统启用新域名

中国工业和信息化部信息通信管理局于 2019 年 04 月 17 日发布了《关于调整“工业和信息化部ICP/IP地址/域名信息备案管理系统”域名的公告》。公告指出,“工业和信息化部 ICP / IP 地址 / 域名信息备案管理系统”的域名将调整为 “beian.miit.gov.cn”, 原来使用的 “miitbeian.gov.cn” 和 “miibeian.gov.cn” 等域名自 2019 年 04 月 25 日起停止使用。

公告附件中还给出了调整后的各省(区、市)系统域名列表,如下:

(以下数据来自:http://beian.miit.gov.cn

省(区、市)域名
北京市bj.beian.miit.gov.cn
上海市sh.beian.miit.gov.cn
天津市tj.beian.miit.gov.cn
重庆市cq.beian.miit.gov.cn
河北省he.beian.miit.gov.cn
山西省sx.beian.miit.gov.cn
内蒙古自治区nm.beian.miit.gov.cn
辽宁省ln.beian.miit.gov.cn
吉林省jl.beian.miit.gov.cn
黑龙江省hl.beian.miit.gov.cn
江苏省js.beian.miit.gov.cn
浙江省zj.beian.miit.gov.cn
安徽省ah.beian.miit.gov.cn
福建省fj.beian.miit.gov.cn
江西省jx.beian.miit.gov.cn
山东省sd.beian.miit.gov.cn
河南省ha.beian.miit.gov.cn
湖北省hb.beian.miit.gov.cn
湖南省hn.beian.miit.gov.cn
广东省gd.beian.miit.gov.cn
广西壮族自治区gx.beian.miit.gov.cn
海南省hi.beian.miit.gov.cn
四川省sc.beian.miit.gov.cn
贵州省gz.beian.miit.gov.cn
云南省yn.beian.miit.gov.cn
西藏自治区xz.beian.miit.gov.cn
陕西省sn.beian.miit.gov.cn
甘肃省gs.beian.miit.gov.cn
青海省qh.beian.miit.gov.cn
宁夏回族自治区nx.beian.miit.gov.cn
新疆维吾尔自治区xj.beian.miit.gov.cn

注意:本文参考自http://beian.miit.gov.cn/state/outPortal/queryLatestMessageInfo.action?id=263, 如果本文的表述和数据等内容与工信部官方发布的信息不一致,请以工信部官方信息为准。

2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析(两种方法+手写作答)

题目

求极限 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}

解析

当题目中要求的是“极限”,而且出现了 x \rightarrow 0 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。

还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 x \rightarrow 0 时可能产生 \frac{0}{0} 型的洛必达或者 \frac{\infty}{\infty} 型的洛必达。而且,洛必达法则就是为求极限而生的,可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限,从而可能化简原式。

方法一

本题考查的是等价无穷小,需要用到的两个等价无穷小如下(当 x \rightarrow 0 时):

x \sim \sin x; x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.

于是有:

原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}

\sin x=t, 则有:

原式 =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}

由于,当 x \rightarrow 0 时,\sin x \rightarrow 0, 于是有 t \rightarrow 0, 因此根据常见的等价无穷小,有:

t-\sin t \sim \frac{1}{6}t^{3}

因此有:

原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}=\frac{1}{6}

方法二

本题也可以结合使用等价无穷小与 \frac{0}{0} 型洛必达等定理解出。

需要用到的等价无穷小有(当 x \rightarrow 0 时):

x \sim \sin x; 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}

需要用到的洛必达法则公式是:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

需要用到的求导规则是:

(\sin x)'=\cos x; (u-v)'=u'-v'; f'(x)=f'[g(x)]g'(x).

解答思路如下:

由于,当 x \rightarrow 0 时,\sin x \sim x, 于是有:

原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}=\lim_{x \rightarrow0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}} (1)

由于,当 x \rightarrow 0 时,有:

\sin x-\sin(\sin x) \rightarrow 0, 且存在导数;
x^{3} \rightarrow 0, 且存在导数.

因此,可以对 (1) 式使用洛必达法则:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]'}{(x^{3})'}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}

化简得:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}

由于,当 x \rightarrow 0 时,\cos x \rightarrow 1, 因此,进一步化简得:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}

使用等价无穷小进一步计算可得:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}

方法一手写作答

方法二手写作答

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析(两种方法)

题目

甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处. 图中,实线表示甲的速度曲线 v=v_{1}(t) (单位 : m/s),虚线表示乙的速度曲线 v=v_{2}(t) (单位 : m/s),三块阴影部分面积的数值依次为 10, 20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 t_{0} (单位 : s),则()

( A ) t_{0}=10.

( B ) 15<t_{0}<20.

( C ) t_{0}=25.

( D ) t_{0}>25.

解析

方法一

从物理学的角度,本题就是考查速度与路程的关系。

题目中给出的 X-Y 坐标图像是“时间-速度”图像。那么,根据物理学知识我们知道,该曲线与坐标轴围成的图像的面积就是走过的路程。我们又知道,实线表示甲,虚线表示乙,而且刚开始时甲在乙前面 10 米处。

由图像可知,当 t=10 时,甲在乙前面 20 米处,当 t=25 时,乙在第 10 秒到第 25 秒之间的 15 秒时间里比甲多跑了 20 米,正好抵消了之前乙落后于甲的 20 米路程。因此,当 t=25 时,乙追上了甲,即 t_{0}=25

综上可知,本题的正确选项是:C

方法二

从数学的角度,本题主要考查的是定积分的基本运算和定积分的几何意义。

使用高等数学解答本题需要如下关于定积分的知识:

  1. 定积分的几何意义:
    曲边梯形的代数和.
  2. 定积分的基本性质:
    定积分的线性性:
\int_{a}^{b}[k_{1}f_{1}(x)+k_{2}f_{2}(x)]dx=k_{1}\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx+k_{2}\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx.

定积分积分区间的可加性:

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.

根据上面的知识,我们可以做如下推理。

如果我们约定,使用 v(t) 表示速度,使用 s(t) 表示路程,那么在从 0t 这个时间段内,可以写出如下定积分表达式:

s(t)=\int_{0}^{t}v(t)dx.

因此,当乙在 t_{0} 时刻追上甲时,甲走过的路程为:

s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t).

乙走过的路程为:

s_{2}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t). s_{2}(t)

s_{1}(t) 的关系为:

s_{2}(t)-10=s_{1}(t).

于是有:

s_{2}(t)-s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t)-\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.

由于在从 010 秒的时间段内,v_{2} 始终大于 v_{1}, 因此,乙超过甲的时间 t_{0} 一定大于 10, 于是有:

\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]+\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.

又由于,从题中给出的图像我们可以看出:

\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.

因此有:

\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=20.    (1)

根据题中图像可知,在第 10 秒到第 25 秒这段时间里,图像中对应的阴影部分的面积为 20, 所以当 t_{0}=25 时, (1) 式成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

EOF

Python 实现将文档文件中的同一种字符交替替换成不同的字符(0.1 版)

图 1. 符号约定,使用 https://carbon.now.sh 生成

如果图 1 显示不正常(由于对 SVG 格式的兼容性问题,在有些浏览器中会出现这种情况),你可以点击这里查看本文符号约定的 PNG 格式版

需求分析

最近我开始在博客上分享一些考研数学题的解题过程,因此,自然少不了要输入数学公式。我写文章的习惯是,首先,使用 Markdown 把文章写好,然后再复制到博客里发布,由于包括 WordPress 在内的许多博客平台都是支持 Markdown 的,因此这么做一直没有什么问题。

不过,在 Markdown 中输入数学公式的语法是类似这样的:

$\sqrt{2}$

可是,我在 WordPress 中使用的显示数学公式的插件要求的语法是类似这样的:

【latex】\sqrt{2}【/latex】

这样一来,每当我要在我的个人网站发布一篇带有数学公式的文章时,我都需要把一个公式两边的 “$” 分别替换成 “【latex】” 和 “【/latex】”.

手动替换很慢,所以我写了一段 Python 代码实现自动替换。

代码实现

注:以下代码在 Windows 10 中文家庭版 64 位系统下的 Python 3.7.0 环境中测试成功。

编写该程序需要注意的一点是必须实现对文件内容的逐字符读取和替换,如果是逐行读取替换的话,那么一次遍历就会把整行的所有 “$” 都替换成 “【latex】”, 不符合要求。

无注释版代码:

a=2  
with open(('1.md'), 'r',encoding='UTF-8') as f:
    for line in f:
        for ch in line:
            if ch=='$':
                if a % 2 == 0:
                    ch='【latex】'
                    a = a + 1
                elif a % 2 != 0:
                    ch = '【/latex】'
                    a = a + 1
            print (ch,end='')

有注释版代码:

a=2  
with open(('1.md'), 'r',encoding='UTF-8') as f:
# 读取 1.md 文件中的内容,可以读取中文。
    for line in f:
    # 遍历一行
        for ch in line:
        # 遍历一行中的每一个字符
            if ch=='$':
                if a % 2 == 0:
                # 如果 a 为偶数,把 $ 换成 【latex】
                    ch='【latex】'
                    a = a + 1
                    # 操作完成,改变 a 的值
                elif a % 2 != 0:
                # 如果 a 为奇数,把 $ 换成 【/latex】
                    ch = '【/latex】'
                    a = a + 1
                    # 操作完成,改变 a 的值
            print (ch,end='')
            # 输出本行的操作结果(end='' 保证了输出完一整行后再换行)

EOF

McAfeeMagic.com Under Denial of Service Attack (June 12, 2019)

安全公司 McAfee 创始人 John McAfee 于 2019 年 06 月 12 日在 Twitter 上发推表示,McAfeeMagic.com 使用的亚马逊 AWS 服务器遭遇了 “cloaked hoic DOS” 攻击,并且自己发自内心地感谢黑客的免费宣传:

图 1. 截图来自 Twitter @officialmcafee

John McAfee 说,亚马逊的 AWS 正在学习攻击流量的行为,攻击流量越大,网站恢复得越快:

图 2. 截图来自 Twitter @officialmcafee

2019 年 06 月 12 日下午 4 点 18 分,John McAfee 在 Twitter 上宣布 McAfeeMagic.com 已经恢复访问,截至本文发出时,McAfeeMagic.com 仍可以正常访问:

图 3. 截图来自 Twitter @officialmcafee

2017 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析(两种方法)

题目

已知函数 f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, 则 f^{(3)}(0)=

解析

方法一

本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。

由于:

f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} f(-x)=\frac{1}{1+(-x)^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}}

因此:

f(x)=f(-x)

于是,我们知道,函数 f(x) 是一个偶函数。

接下来,根据“偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数”的规律,我们知道,函数 f^{(3)}(x) 是一个奇函数。

又由于,如果一个奇函数 g(x) 在原点处(x=0)有定义,则 g(x)=0, 因此有:

f^{(3)}(0)=0

综上可知,本题的答案就是:0

方法二

本题也可以借助泰勒级数计算。

本题要求解的是在 x=0 时,f(x) 的三次导函数的函数值。我们知道,麦克劳林级数就是函数在 x=0 处的泰勒级数,是泰勒级数的一个特例。于是,这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。

麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式,如下:

\frac{1}{1-x}=\sum_{0}^{\infty}x^{n}, |x|<1

当我们把上述公式中的 x 替换成 -x^{2} 后,f(x) 就可以使用上述几何级数的公式表达,如下:

f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}

之后,对 f(x) 求导:

f'(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot x^{2n-1}
f''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot x^{2n-2}
f'''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot 2n-2 \cdot x^{2n-3}

于是,f'''(0)=0

综上可知,本题的答案就是: 0

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

若函数 f(x) 可导,且 f(x)f'(x)>0, 则()

( A ) f(1)>f(-1)

( B ) f(1)<f(-1)

( C ) |f(1)|>|f(-1)|

( D ) |f(1)|<|f(-1)|

解析

观察题目我们可以发现,f(x)f'(x) 和下面这个这个公式很像:

[f(x) \cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

如果我们令 g(x)=f(x), 则有:

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=f(x)f'(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)

进一步,我们可以令 F(x)=f^{2}(x), 则有:

F'(x)=2f(x)f'(x)

由题可知,f(x)f'(x)>0, 于是有 F'(x)>0, 即 F(x) 是一个单调递增的函数,由此可得:

F(1)-F(-1)>0

即:

f^{2}(1)-f^{2}(-1)>0 \Rightarrow f^{2}(1)>f^{2}(-1) \Rightarrow |f(1)|>|f(-1)|

综上可知,正确答案为:C

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

若函数

f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.

x=0 处连续,则()

( A ) ab = \frac{1}{2}

( B ) ab = - \frac{1}{2}

( C ) ab = 0

( D ) ab = 2

解析

这道题可以根据函数连续的定义解出。

函数 f(x) 在某一点 x_{0} 处连续的定义如下:

\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}} = \lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}} = f(x_{0})

因此,若函数 f(x)x = 0 处连续,则根据定义的话,我们需要证明:

\lim_{x \rightarrow 0^{-}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = f(0)

观察题目可知,这是一个分段函数,且当 x \in (- \infty, 0] 时,f(x)=b. 于是,当 x 从左边趋近于 0 时,f(0^{-}) = b.

x 从右边趋近于 0 时,适用的取值范围为 x>0, 而对应的函数值为:

\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}

根据如下的等价无穷小原则:

1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}

于是有:

原式 =\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax} = \frac{1}{2a}

为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义,需要有:

\frac{1}{2a} = b

化简形式得:

ab = \frac{1}{2}

由此可知,选 A.

EOF

在 Android Studio 3.4.1 中打开 Android Device Monitor (ADM)

操作环境

操作系统:Windows 10 家庭版 64 位

Android Studio 版本如图 1:

图 1

说明

Android Studio 的版本经历了几次更新,导致 ADM (Android Device Monitor) 的打开方式也发生了几次变化,因此,在网络上找怎么打开 ADM 的话可能会发现没法在自己的 Android Studio 上重现他们的方法,这主要是 Android Studio 的版本不同导致的,建议大家在参考本文的时候也查看一下自己的 Android Studio 的版本(我的文章基本都会注明“操作环境”). 但是,版本不同不表示操作方法一定不同,具体还需要根据实际情况确定。

Google 从 Android Studio 3.2 开始就完全弃用了 Android Device Monitor, 相关解释的原文地址如下:

https://developer.android.com/studio/profile/monitor

相关解释的原文摘抄如下:

Android Device Monitor was deprecated in Android Studio 3.1 and removed from Android Studio 3.2. The features that you could use through the Android Device Monitor have been replaced by new features. The table below helps you decide which features you should use instead of these deprecated and removed features.

来自:https://developer.android.com/studio/profile/monitor

参考中文译文如下:

Android Device Monitor (ADM) 从 Android Studio 3.1 开始不赞成使用,在 Android Studio 3.2 上已经移除了 Android Device Monitor. 你之前可以在 Android Device Monitor 上使用的功能都被新的功能代替了。下面的表格将帮助你判定哪些功能是被替换和移除了。

译自:https://developer.android.com/studio/profile/monitor

不过,ADM (Android Device Monitor) 在 Android Studio 3.4.1 版本中仍然存在。此外,目前网络上大部分介绍在 Android Studio 中打开 Android 虚拟机中的文件的方式仍然是使用 ADM 的 File Explorer. 所以,知道如何打开 ADM 仍然很有必要,接下来就是具体的操作步骤。

操作步骤

根据 Android Studio 官网的信息,下面的操作步骤适用于 Android Studio 3.1 及其之后的版本。

使用 Everything 搜索 “sdk\tools” 可以找到 Android SDK 的路径:

图 2

或者在 Android Studio 中依次打开 “File / Settings / Android SDK” 中查看 Android SDK 的路径:

图 3

在 CMD 中进入 Android SDK tools所在的路径并输入 monitor 指令,即可打开 Android Device Monitor:

图 4 进入 “C:\Users\Master\AppData\Local\Android\Sdk\tools” 目录并输入 ADM 启动指令

Android Device Monitor 的界面:

图 5

EOF

Android Studio + Windows 10 配置 ADB 环境变量

操作环境

Windows 10 中文家庭版 64 位

Android Studio 3.4.1

操作步骤

我的 ADB 环境变量的路径如下:

C:\Users\Master\AppData\Local\Android\Sdk\platform-tools

如果你不知道自己电脑上 ADB 环境变量的路径,可以使用 Everything 搜索 “platform-tools” 即可找到,如图 1:

图 1

之后,依次打开“这台电脑 / 属性 / 高级系统设置 / 环境变量”,在 “Path” 环境变量中选择“编辑”,如图 2:

图 2

在打开的“编辑环境变量”窗口中,选择“新建”并把上面找到的 ADB 环境变量的路径填入其中,最后点击确定即可:

图 3

之后,重新打开一个 CMD 窗口,输入 adb, 如果可以看到回显信息则代表 ADB 环境变量配置成功:

图 4

EOF

使用定义判断函数的奇偶性

题目

判断函数 f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) 的奇偶性。

解析

本题用到的知识点

log_{a}(MN)=log_{a}M+log_{a}N

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码:

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 y=ln(x) 的图像:

图 1

有图像可以看到,自然对数 ln(x) 只在 (0,+\infty) 的区间里有定义,不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 X 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数,因此,我们还需要结合 g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}} 的定义域来确定 f(x) 的定义域。

因为:

\sqrt{1+x^{2}}>\sqrt{x^{2}}>|x|>0

则:

x\in (-\infty,+\infty) x+\sqrt{1+x^{2}} > 0 满足自然对数函数 ln(x) 对定义域的要求,而且,当 x=0 时, f(x)=ln(1)=0 , 也满足奇函数“当 f(x) 在原点处有定义时, f(0)=0 ”的要求。

到这里,定义域的问题解决了,下面要解决的是函数是关于 y 轴对称,还是关于原点对称的问题。

由于:

f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) f(-x)=ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})

则:

f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)+ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)=ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]=ln(1+x^{2}-x^{2})=ln(1)=0

上面的运算结果符合奇函数的定义,因此, f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) 是一个奇函数。

此外,使用 WolframAlpha 画出的函数 f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) 的图像如下:

图 2. 图片来自 https://www.wolframalpha.com/

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

EOF

CentOS 7 中 Apache 服务器禁止目录浏览

操作环境

服务器操作系统:CentOS 7
Web 中间件:Apache 2

问题说明

今天对网站进行安全检查的时候,发现了一个名为 “Index of /wordpress” 的网页。打开一看,竟然可以进行目录浏览

图 1

这是一个很危险的漏洞,几乎把荒原之梦的所有网站文件的名称都公开显示了。

解决步骤

修改相关目录的权限:

chmod 755 -R wordpress/

修改 Apache 的配置文件,进入如下目录:

/etc/httpd/conf

修改配置文件

vim httpd.conf

找到 Options Indexes FollowSymLinks, 将其注释掉并修改为:

Options None

保存并退出后,重启 Apache 服务器:

systemctl restart httpd

之后,刷新具有目录浏览问题的页面可以发现,已经无法进行目录浏览:

图 2

EOF

1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析(三种方法)

题目

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=

解法一

使用四则运算将原式化简,之后使用等价无穷小替换求出结果。

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}

由于当 x\rightarrow0 时,(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\rightarrow2, 因此有:

\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}

根据等价无穷小的如下替换原则:

(1+x)^{\mu }-1\backsim\mu x

更多可以参考高等数学中常用的等价无穷小

可知:

\sqrt{1-x^{2}}-1\backsim-\frac{1}{2}x^{2}, 因此有:

lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}=-\frac{1}{4}

解法二

观察题目中的式子可以发现,当 x\rightarrow0 时,满足以下条件:
(1) \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2\rightarrow0

(2) x^{2}\rightarrow0x^{2}\neq0

(3) y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2y=x^{2}0 附近两者都可导(0 附近,导数存在且连续,故可导)。

综上可知,此处可以使用 \frac{0}{0} 型的洛必达法则,即可以对分子和分母分别求导后再求极限来确定未定式的值。

求导过程如下:

原式 =lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x} = lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{4x} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x(\sqrt{1+x} \times \sqrt{1-x})} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{4x \sqrt{1-x^{2}}}

因为,当 x \rightarrow0 时,\sqrt{1-x^{2}} \rightarrow 1, 所以有:

lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}

上面的计算过程依次是“求导 / 化简 / 化简 / 化简 / 化简”。下面开始正式使用 \frac{0}{0} 型的洛必达法则进行计算:

\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}lim_{x \to 0} = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}

经过上面的求导,我们发现,当 x \rightarrow 0 时,-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \rightarrow -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \rightarrow 0, 因此有:

原式 =\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{4} = \frac{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}{4} = -\frac{1}{4}

在使用洛必达法则解决该问题的时候,进行了两次求导。其实,只要满足以下三个条件,则在使用洛必达法则的过程中可以进行任意次求导,但需要注意的是,每一次求导之前必须确保式子仍然满足如下三个条件,否则不能使用洛必达法则:

设:y=\frac{f(x)}{g(x)}, 则需满足:

(01) x \rightarrow x_{0}x \rightarrow \infty 时,f(x)g(x) 均趋于 0 或者趋于 \infty;

(02) f(x)g(x)x_{0} 的去心邻域可导且 {g}'(x) \neq 0;

(03) \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)} 的极限存在或者为无穷大。
总结来说,洛必达法则的使用方法如下:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}

解法三

观察题目中的式子我们发现,可以使用麦克劳林展开式的 (1+x)^{m} 的形式和皮亚诺余项对该题目进行计算,公式如下:

(1+x)^{m} = 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})

代入公式可得:

\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})
\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})

于是有:

原式=lim_{x \to 0}\frac{1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})-2}{x^{2}}=lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}}=lim_{x\to0}-\frac{1}{4}+\frac{0(x^{2})}{x^{2}}=-\frac{1}{4}

EOF

ZhaoKaiFeng.com 两岁啦 :-)

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错题总结:明确求导过程中的自变量很关键

例题:对下面的函数求导

f(x) = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} - 2

错误的求导过程

{f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}

上面这个计算过程是错的,错误的原因是在计算 \sqrt{1+x} 的导数时把 1+x 视作了自变量,也就是说把 1+x 视作了求导对象;而在对 \sqrt{1-x} 求导时,又把 1-x 看作了求导自变量。

很显然,一个二维函数中不可能有两个不同的自变量,而且根据约定可知,当式子中出现 f(x) 或者 lim_{x \to 0} 时,就表明这个式子中的自变量是 x 且求导也要对 x 求导。

正确的求导过程

这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题,复合函数的链式求导法则如下:

y = f(u), u = \mu(x), 如果 \mu(x)x 处可导,f(x) 在对应点 u 处可导,则复合函数 y = f[\mu(x)]x 处可导,且有:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = {f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)

于是,对于例题的正确求导过程如下:

{f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}}<br /> =\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}\times{(x)}' + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}'=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}