2014年考研数二第19题解析:变上限积分、函数的单调性、积分中值定理

题目

设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,且 $f(x)$ 单调增加,$0 \leqslant g(x) \leqslant 1$, 证明:

$(Ⅰ)$ $0 \leqslant \int_{a}^{x} g(t) dt$ $\leqslant x-a$, $x \in [a,b]$;

$(Ⅱ)$ $\int_{a}^{a+\int_{a}^{b}g(t) dt} f(x) dx$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx$.

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2014年考研数二第18题解析:偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程

题目

设函数 $f(u)$ 二阶连续可导,$z=f(e^{x} \cos y)$ 满足 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}$ $=(4z + e^{x} \cos y)e^{2x}$, 若 $f(0)=0$, $f^{‘}(0)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式.

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2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系

题目

设平面区域 $D=$ $\{(x,y)|$ $1 \leqslant x^{2} + y^{2} \leqslant 4$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0 \}$, 计算:

$$
\iint_{D} \frac{x \sin (\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}})}{x+y} dxdy.
$$

解析

根据题目可知,积分区域 $D$ 是由两个圆心坐标均为 $(0,0)$, 半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个同心圆在直角坐标系的第一象限中围成的,如图 01 所示:

2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系_荒原之梦
图 01.
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2014年考研数二第16题解析:一阶线性微分方程求极值、求导

题目

已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^{2}+y^{2}y^{‘} = 1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.

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2013年考研数二第21题解析:平面曲线的弧长、平面图形的形心

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2} – \frac{1}{2} \ln x$ $(1 \leqslant x \leqslant e)$.

$(Ⅰ)$ 求 $L$ 的弧长;

$(Ⅱ)$ 设 $D$ 是由曲线 $L$, 直线 $x=1$, $x=e$ 及 $x$ 轴所围平面图形,求 $D$ 的形心的横坐标.

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2013年考研数二第20题解析:导数与最值、数列极限的判定与求解

题目

设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值;

$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,并求此极限。

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2013年考研数二第19题解析:拉格朗日乘数法求条件极值、求曲线上的最值

题目

求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

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2013年考研数二第18题解析:拉格朗日中值定理、罗尔定理、中值定理

题目

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数,且 $f(1)=1$. 证明:

$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;

$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.

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2013年考研数二第16题解析:计算旋转体的体积

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形,$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴,$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积,若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。

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2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限

题目

$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根;

$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,并求此极限。

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