$(x^{\alpha})’$ 的求导公式(B003)

问题

$x^{\alpha}$ 的导数是什么?
其中,$\alpha$ 为常数.

选项

[A].   $(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha}$
[B].   $(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha + 1}$
[C].   $(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha – 1}$
[D].   $(x^{\alpha})’$ $=$ $(\alpha – 1)$ $x^{\alpha}$

显示答案

$(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha – 1}$

导数的除法运算法则(B003)

问题

已知 $a$ $=$ $a(x)$ $\neq$ $0$, $b$ $=$ $b(x)$ 且均可导,则【$(\frac{b}{a})’$ $=$ $?$】

选项

[A].   $\frac{b’a – ba’}{a^{2}}$
[B].   $\frac{ba’ – b’a}{a^{2}}$
[C].   $\frac{b’a + ba’}{a^{2}}$
[D].   $\frac{b’a – ba’}{a}$

显示答案

$(\frac{b}{a})’$ $=$ $\frac{b’a – ba’}{a^{2}}$, $a$ $\neq$ $0$.
特别的,当 $c$ 为常数的时候,有:$(\frac{c}{a})’$ $=$ $\frac{-a’c}{a^{2}}$

导数的乘法运算法则(B003)

问题

已知 $a$ $=$ $a(x)$, $b$ $=$ $b(x)$ 且均可导,则【$(a \times b)’$ $=$ $?$】

选项

[A].   $a \times b’$ $-$ $a’ \times b$
[B].   $a’ \times b’$ $+$ $a \times b$
[C].   $a’ \times b$ $-$ $a \times b’$
[D].   $a’ \times b$ $+$ $a \times b’$

显示答案

$(a \times b)’$ $=$ $a’ \times b$ $+$ $a \times b’$
简单写法:$(a b)’$ $=$ $a’ b$ $+$ $a b’$

函数可导与连续之间的关系(B003)

问题

关于函数可导与函数连续之间的关系,以下哪些选项是正确的?

选项

[A].   不连续一定不可导
[B].   连续一定可导
[C].   可导必连续
[D].   可导不一定连续

显示答案

函数可导与连续之间的关系如下:
1. 可导必连续;
2. 不连续一定不可导
3. 连续不一定可导.

法线方程的计算方法(B003)

问题

切线垂直的线为法线,那么,以下哪个选项是通过导数计算【法线方程】的正确公式?
设原方程为 $f(x)$, 导数为 $f'(x)$, 要计算的是该函数在点 $x_{0}$ 处的法线方程.

选项

[A].   $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$
[B].   $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x + x_{0})$
[C].   $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$
[D].   $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x + x_{0})$

显示答案

$f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

切线方程的计算方法(B003)

问题

函数某点处导数的几何意义就是函数在该点处的切线方程,那么,以下哪个选项是通过导数计算【切线方程】的正确公式?
设原方程为 $f(x)$, 导数为 $f'(x)$, 要计算的是该函数在点 $x_{0}$ 处的切线方程.

选项

[A].   $f(x)$ $+$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $\cdot$ $(x – x_{0})$
[B].   $f(x)$ $+$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $\cdot$ $(x + x_{0})$
[C].   $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $\cdot$ $(x + x_{0})$
[D].   $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

显示答案

$f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

函数可导的充分必要条件 (B003)

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导,即 $f'(x_{0})$ $=$ $A$, 则以下哪个选项是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处【可导的充分必要条件】?

选项

[A].   $f_{\color{Red}{+}}'(x_{0})$ $=$ $A$
[B].   $f_{\color{Red}{+}}'(x_{0})$ $=$ $f_{\color{Red}{-}}'(x_{0})$ $=$ $A$
[C].   $f_{\color{Red}{+}}'(x_{0})$ $=$ $f_{\color{Red}{-}}'(x_{0})$ $\neq$ $A$
[D].   $f_{\color{Red}{-}}'(x_{0})$ $=$ $A$

显示答案

$f'(x_{0})$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $f_{\color{Red}{+}}'(x_{0})$ $=$ $f_{\color{Red}{-}}'(x_{0})$ $=$ $A$
Tips: 左导 $=$ 右导,则可导.

函数右导数(02-B003)

问题

以下关于【函数右导数】的描述中正确的是哪项?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) + f(x_{0})}{x + x_{0}}$
[B].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x + x_{0}}$
[C].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$
[D].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

显示答案

$f_{\color{Red}{+}}^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

函数右导数(01-B003)

问题

以下关于【函数右导数】的描述中正确的是哪项?

选项

[A].   $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) + f(x_{0})}{\Delta x}$
[B].   $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) + f(x_{0})}{\Delta x}$
[C].   $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$
[D].   $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

显示答案

$f_{\color{Red}{+}}^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$