2014年考研数二第22题解析:齐次与非齐次线性方程组求解

题目

设 $A=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3 & -4\\
0 & 1 & -1 & 1\\
1 & 2 & 0 & -3
\end{bmatrix}$, $E$ 为三阶单位矩阵.

$(Ⅰ)$ 求方程组 $AX=0$ 的一个基础解系.

$(Ⅱ)$ 求满足 $AB=E$ 的所有矩阵 $B$.

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2014年考研数二第21题解析:旋转体的体积、偏导数

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y} =$ $2(y+1)$, 且 $f(y,y) =$ $(y+1)^{2}-$ $(2-y) \ln y$, 求曲线 $f(x,y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积.

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2014年考研数二第20题解析:极限、数列、数学归纳法

题目

设函数 $f(x)=$ $\frac{x}{1+x}$, $x \in [0,1]$, 定义数列:

$$
f_{1}(x) = f(x),
$$

$$
f_{2}(x) = f[f_{1}(x)],
$$

$$
\cdot \cdot \cdot,
$$

$$
f_{n}(x) = f[f_{n-1}(x)],
$$

$$
\cdot \cdot \cdot
$$

记 $S_{n}$ 是曲线 $y=f_{n}(x)$, 直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积,求极限 $\lim_{n \rightarrow \infty} n S_{n}$.

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2014年考研数二第19题解析:变上限积分、函数的单调性、积分中值定理

题目

设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,且 $f(x)$ 单调增加,$0 \leqslant g(x) \leqslant 1$, 证明:

$(Ⅰ)$ $0 \leqslant \int_{a}^{x} g(t) dt$ $\leqslant x-a$, $x \in [a,b]$;

$(Ⅱ)$ $\int_{a}^{a+\int_{a}^{b}g(t) dt} f(x) dx$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx$.

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2014年考研数二第18题解析:偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程

题目

设函数 $f(u)$ 二阶连续可导,$z=f(e^{x} \cos y)$ 满足 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}$ $=(4z + e^{x} \cos y)e^{2x}$, 若 $f(0)=0$, $f^{‘}(0)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式.

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2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系

题目

设平面区域 $D=$ $\{(x,y)|$ $1 \leqslant x^{2} + y^{2} \leqslant 4$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0 \}$, 计算:

$$
\iint_{D} \frac{x \sin (\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}})}{x+y} dxdy.
$$

解析

根据题目可知,积分区域 $D$ 是由两个圆心坐标均为 $(0,0)$, 半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个同心圆在直角坐标系的第一象限中围成的,如图 01 所示:

2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系_荒原之梦
图 01.
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2014年考研数二第16题解析:一阶线性微分方程求极值、求导

题目

已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^{2}+y^{2}y^{‘} = 1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.

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2013年考研数二第23题解析:二次型、二次型的标准型

题目

设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=$ $2(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3})^{2} +$ $(b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3})^{2}$,

记 $\alpha=\begin{bmatrix}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{bmatrix}$, $\beta=\begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$,

$(Ⅰ)$ 证明:二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2\alpha \alpha ^{\top}+\beta \beta ^{\top}$

$(Ⅱ)$ 若 $\alpha$, $\beta$ 正交且均为单位向量,证明:$f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$.

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2013年考研数二第22题解析:矩阵、非齐次线性方程组求解

题目

设 $A=\begin{bmatrix}
1 & a\\
1 & 0
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & b
\end{bmatrix}$,

当 $a$, $b$ 为何值时,存在矩阵 $C$ 使得 $AC-CA=B$, 并求所有矩阵 $C$.

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2013年考研数二第21题解析:平面曲线的弧长、平面图形的形心

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2} – \frac{1}{2} \ln x$ $(1 \leqslant x \leqslant e)$.

$(Ⅰ)$ 求 $L$ 的弧长;

$(Ⅱ)$ 设 $D$ 是由曲线 $L$, 直线 $x=1$, $x=e$ 及 $x$ 轴所围平面图形,求 $D$ 的形心的横坐标.

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2013年考研数二第20题解析:导数与最值、数列极限的判定与求解

题目

设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值;

$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,并求此极限。

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2013年考研数二第19题解析:拉格朗日乘数法求条件极值、求曲线上的最值

题目

求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

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