可分离变量的方程(B028)

问题

已知:

$f_{1}(x)$ $g_{1}(y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $f_{2}(x)$ $g_{2}(y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

是一个可分离变量的方程,则以下对该方程的变量分离结果,正确的是哪个?

选项

[A].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{1}(y)}{g_{2}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

[B].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $1$

[C].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

[D].   $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$



显示答案

两边同除 $g_{1}(y)$ $f_{2}(x)$ $\neq$ $0$, 得:

$\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$.

之后,两边积分即可。

利用奇延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶系数:$b_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数,并且,其基于奇延拓的傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sec \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

利用奇延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数,并且,可以利用奇延拓构造出在 $[-l, l]$ 上为奇函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant l \\ -f(-x), & -l \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则,以下关于函数 $f(x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{\pi}{n} x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\csc \frac{n \pi}{l} x$



显示答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

利用偶延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶系数:$a_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数,并且,其基于偶延拓的傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{l \pi}{n} x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

利用偶延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数,并且,可以利用偶延拓构造出在 $[-l, l]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant l \\ f(-x), & -l \leqslant x < 0 \end{array}\right.$

则,以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$



显示答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

利用奇延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶系数:$b_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数,并且,其基于奇延拓的傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $n$ $\sin x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$.

利用奇延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数,并且,可以利用奇延拓构造出在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ -f(-x), & -\pi \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则,以下关于函数 $f(x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos n x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$



显示答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

利用偶延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶系数:$a_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数,并且,其基于偶延拓的傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

利用偶延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数,并且,可以利用偶延拓构造出在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ f(-x), & -\pi \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则,以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin n x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$



显示答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶系数:$b_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的奇函数,并且其傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{2 \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$a_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$.

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数,并且 $f(x)$ 还是一个奇函数:$f(x)$ $=$ $-f(-x)$.

则,以下关于该函数的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{\pi}{l} x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$



显示答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶系数:$a_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的偶函数,并且其傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{1}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数,并且 $f(x)$ 还是一个偶函数:$f(x)$ $=$ $f(-x)$.

则,以下关于该函数的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{\pi}{l} x$



显示答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

周期为 $2 \pi$ 的奇函数的傅里叶系数:$b_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的奇函数,并且其傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $2 \pi$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$a_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 \pi$ 的奇函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数,并且 $f(x)$ 还是一个奇函数:$f(x)$ $=$ $-f(-x)$.

则,以下关于该函数的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{b_{n}}$ $\sin n x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos n x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$



显示答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$