2013 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

已知极限 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c, 其中 k,c 为常数,且 c \neq 0, 则 ( )

( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.

( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.

( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.

( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.

解析

解答本题需要用到一个等价无穷小替换:

x - \arcsin x \sim \frac{1}{3}x^{3}.

于是我们有:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}x^{3}}{x^{k}} = c.

由于 c 是常数,\frac{1}{3}x^{3}x^{k} 的同阶无穷小。

于是,k=3,c=\frac{1}{3}.

综上可知,正确答案是:D

EOF

2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析(三种方法)

题目

极限 \lim_{x \rightarrow \infty}[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=()

( A ) 1.

( B ) e.

( C ) e^{a-b}.

( D ) e^{b-a}.

解析

方法 一

观察可以发现,本题是 1^{\infty} 型不定式,处理该种类型的不定式可以尝试使用“两个重要极限”中的第二个重要极限:

\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e;
\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e;
推广之,有:
一般地,\lim \square=0 \Rightarrow \lim (1+\square)^{\frac{1}{\square}}=e.

于是,我们有如下计算过程:

\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}-1]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}-(x-a)(x+b)} \cdot x \cdot \frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-(x^{2}+bx-ax-ab)}{x^{2}+bx-ax-ab}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-x^{2}-bx+ax+ab}{x^{2}+bx-ax-ab}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{x^{2} \cdot (a-b)+abx}{x^{2}+bx-ax-ab}}=e^{a-b}.

方法 二

对于类似本题这样的幂指函数,我们还可以使用“e 抬起法”求解。

步骤如下:

\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\ln[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}}.

由于在 x \rightarrow \infty 时,\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(x^{2})'}{[(x-a)(x+b)]'} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{2x+b-a} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x)'}{(2x+b-a)'} = \frac{2}{2} = 1.

我们知道,当 \ln 函数里面的变量极限为 1 的时候,我们可以用 \ln (1+x) \sim x 这个等价无穷小,因为把 \ln 函数里面的变量减去 1 (为了保持不变再加上 1) 后就有等于 0 的部分存在了,就满足了使用等价无穷小的条件。

于是,\lim_{x \rightarrow \infty} x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} x \ln[1 + \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} - 1] = \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} - 1] = \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{x^{2} - (x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(a-b)x^{2}}{x^{2}} = a-b.

于是:

\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}} = e^{a-b}.

方法三

除了像方法二中一样在计算的一开始就使用“e 抬起法”之外,还可以在对原式化简变形之后再使用“e 抬起法”。在本解法中,同样涉及对等价无穷小替换的使用,步骤如下:

\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}}]^{-x} = \lim_{x \rightarrow \infty} [(\frac{x-a}{x}) \cdot (\frac{x+b}{x})]^{-x} = \lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x}.

到这里,就出现了幂指函数,于是,接下来使用“e 抬起法”:

\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x} = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})}.

由于,\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0.

而当 \frac{1}{x} \rightarrow 0 时,\frac{a}{x}\frac{b}{x} 都相当于有限个无穷小的乘积,结果仍然是无穷小,于是,我们可以使用如下等价无穷小替换:

\square \rightarrow 0 时, \ln(1 - \square) \sim \square

于是:

\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})} = \lim_{x \rightarrow \infty}e^{-x(-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x(\frac{b}{x})} = e^{a} \cdot e^{-b} = e^{a-b}.

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

行列式 \begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}= (    )

( A ) (ad-bc)^{2}
( B ) -(ad-bc)^{2}
( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}
( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}

解析

本题就是计算行列式数值的题目,根据使用的定理的不同,可以有至少以下两种解法。

解法一

由于 4 阶行列式是没有办法直接使用对角线法则的(对角线法则只适用于二阶或者三阶行列式),因此,这里我们首先想到的就是“降阶”。

降阶的方法里最直接易想的一个就是使用“N 阶行列式的展开定理”,使用某一行或某一列的元素分别与其对应的代数余子式进行乘积后求和的方式计算行列式的数值。在展开时,最好选择 0 比较多的行或列进行展开。

我们可以按第 2 行进行展开,于是有:

\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=a \times (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a& b& 0\\ c& d& 0\\ 0& 0& d \end{vmatrix} + b \times (-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 0& a& b\\ 0& c& d\\ c& 0& 0 \end{vmatrix}=-a(ad^{2}-bcd)+b(adc-bc^{2})=-a^{2}d^{2}+2abcd-b^{2}c^{2}=-(ad-bc)^{2}

综上可知,本题的正确选项是:B

解法二

本题的 0 比较多,因此可以考虑使用以下定理:

Am 方阵,Bn 阶方阵,则:

(当副对角线存在 0 矩阵时可以使用下面的定理。)

\begin{vmatrix} A& O\\ O& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& O\\ C& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& C\\ O& B \end{vmatrix}=|A||B|.

(当主对角线存在 0 矩阵时可以使用下面的定理。)

\begin{vmatrix} O& A\\ B& O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O& A\\ B& C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C& A\\ B& O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|.

我们又知道“交换行列式的两行或者两列行列式变号”,于是我们有:

\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ 0& c& d& 0\\ a& 0& 0& b\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a& 0& 0\\ d& c& 0& 0\\ 0& 0& a& b\\ 0& 0& c& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a\\ d& c \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} a& b\\ c& d \end{vmatrix}=(bc-ad)(ad-bc)=abcd-(bc)^{2}-(ad)^{2}+abcd=-[(ad)^{2} + (bc)^{2}-2abcd]=-(ad-bc)^{2}.

综上可知,本题的正确选项是:B

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 f(x) 具有 2 阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x, 则在区间 [0,1] 上 ( )

( A ) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x).

( B ) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x).

( C ) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x).

( D ) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x).

解析

如果要使用凹凸性的知识解答本题,则首先需要用到函数凹凸性的有关知识,也就是要明确一个函数的 1 阶导和 2 阶导反映出来的原函数形态。

总的来说,我们可以这么认为:

1 阶导反映函数的单调性。在一个区间内,若 1 阶导 f'(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 单调递增;若 1 阶导 f'(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 单调递减。

2 阶导反映函数的凹凸性。在一个区间内,若 2 阶导 f''(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凹的;若 2 阶导 f''(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凸的。

此外,我们还需要掌握和一次函数解析式有关的 4 个计算公式:

  • 两点式(已知两点的坐标)
\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}},其中 x_{1} \neq x_{2} 且 y_{1} \neq y_{2}.
  • 点斜式(已知斜率和其中一点的坐标)
y-y_{1}=k(x-x_{1}).
  • 截距式(已知函数在 x 轴和 y 轴上的截距)
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, 其中 a \neq 0 且 b \neq 0 .
  • 斜截式(已知斜率和函数在 y 轴的截距)
y=k x + b .

解法一

g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x \Rightarrow g(x)=f(0)-f(0)x+f(1)x \Rightarrow g(x)-f(0)=x[f(1)-f(0)] \Rightarrow g(x)-f(0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} \times (x-0).

上式中最后得出的结果其实是一次函数解析式中的“两点式”的一个变形:

\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}).

于是,我们知道,区间 [0,1] 上的函数 g(x) 其实就是点 (0,f(0)) 和点 (1,f(1)) 之间的连线。

又由于在区间 [0,1] 上,当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) 是一个凹函数,即 f(x) \leqslant g(x),

因此,正确的选项是:D

方法二

既然题目是让比较 f(x)g(x) 的大小关系,那么我们自然能想到的就是对 f(x)g(x) 做差,根据结果是大于 0 还是小于 0 来判断他们的大小关系,于是有:

F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x=f(x)-f(0)+f(0)x-f(1)x.

于是有:

F(0)=f(0)-f(0) \times 1 - 0 = 0; F(1) = f(1) - f(0) \times 0 -f(1) = 0.

即:

F(0)=F(1)=0.

又由于题目中提到了 f(x) 存在 2 阶导函数,因此,我们需要把这个条件用上:

F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1); F''(x)=f''(x).

因此,若 f''(x) \geqslant 0,F''(x) \geqslant 0,F(x) 为凹函数,因此有:

F(x) \leqslant F(0)=F(1)=0 \Rightarrow F(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x)-g(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x) \leqslant g(x).

因此,正确的选项是:D

EOF

2013 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,a 为常数且大于零,则 P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=____.

解析

本题涉及的知识点是指数分布。

指数分布中随机变量的取值区间是 [0,\infty), 如果一个随机变量呈指数分布,则可以记作:

X \sim E(\lambda),(\lambda > 0).

在指数分布(以及其他连续性随机变量的概率模型)中有两个和概率有关的函数,分别是“概率密度函数”和“概率分布函数”。

首先我们需要搞清楚“概率密度函数”和“概率分布函数”的区别,这样我们才能知道该用哪个公式解答本题。

概率密度函数

连续性随机变量中的“概率密度函数”对应于离散型随机变量中的“概率函数”。概率密度函数描述的是单独一个特定的随机变量的概率。

指数分布的概率密度函数公式表示如下:

f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0& \\ 0,x \leqslant 0& \end{matrix}\right.

上面的概率密度函数中,x 为随机变量。

概率分布函数

连续性随机变量中的“概率分布函数”对应于离散型随机变量中的“概率分布列表”。概率分布函数描述的是一系列(通常是整个概率模型取值范围内)的随机变量对应的概率。

指数分布的概率分布函数公式表示如下:

F(x;\lambda )=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x},x \geqslant 0& \\ 0,x < 0& \end{matrix}\right.

上面的概率分布函数中,x 为随机变量,\lambda 为率参数,\lambda 描述的是每单位时间内发生某事件的次数。

根据上面的概率分布函数,我们知道,在服从参数 \lambda 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{-\lambda x},(x>0)

此外,如果令 \theta = \frac{1}{\lambda}, 则在服从参数为 \theta 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{- \frac{x}{\theta }},(x>0)

经过上面的分析,再结合题目中给出的信息,我们现在知道,应该使用指数分布中的概率分布函数解答本题。

由于该指数分布的参数为 1, 于是我们知道 \lambda = 1.
之后,根据条件概率公式:

P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} , (P(A) > 0.)

我们可以对原式作如下转换:

P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=\frac{P(Y \leqslant a + 1) \cap P(Y > a)}{P(Y>a)}=\frac{P( a < Y \leqslant a+1)}{P(Y>a)}=\frac{ F(a+1)-F(a)}{ 1 - F(a) }=\frac{1-e^{-(a+1)}-(1-e^{-a})}{1-(1-e^{-a})}=\frac{-e^{-(a+1)}+e^{-a}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}-e^{-a-1}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}(1-e^{-1})}{e^{-a}}=1-e^{-1}.

综上可知,本题的正确选项是:1-e^{-1}

EOF

2011 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),E(XY^{2})=____.

解析

由于在正态分布 X \sim N(\mu, \sigma^{2})E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2}. 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是,根据题目中的条件我们知道,E(X)=E(Y)=\mu,D(X)=D(Y)=\sigma^{2}.

又由 \rho=0 我们知道,XY 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质:

X_{1},X_{2},\dots , X_{n},Y_{1},Y_{2},\dots , Y_{m} 相互独立,f(\cdot)n 元连续函数且 g(\cdot)m 元连续函数,则 f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m}) 也相互独立。

因此,我们知道,XY^{2} 也相互独立,于是有:
E(XY^{2})=E(X)E(Y^{2})=E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).

综上可知,本题的正确答案是:\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})

EOF