荒原之梦

题目

证明：

$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$

其中：

$$
-1 < x < 1.
$$

题目

已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{”}(x) + f^{‘}(x) – 2f(x) =0$ 及 $f^{”}(x) + f(x) = 2e^{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的表达式；

$(Ⅱ)$ 求曲线 $y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2})dt$ 的拐点。

题目

计算二重积分 $\iint_{D} xy d \sigma$, 其中，区域 $D$ 由曲线 $r=1+\cos \theta$ $(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 与极轴围成。

题目

过点 $(0,1)$ 作曲线 $L:$ $y = \ln x$ 的切线，切点为 $A$, 又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $AB$ 围成，求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

题目

求函数 $f(x,y) = xe^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ 的极值。

题目

已知函数 $f(x) = \frac{1+x}{\sin x} – \frac{1}{x}$, 记 $a = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 若当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x) – a$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，求常熟 $k$ 的值。

题目

已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1,y) = 0$, $f(x,1)=0$, $\iint_{D} f(x,y) dx dy = a$, 其中，$D={(x,y) | 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1}$, 计算二重积分 $I = \iint_{D} xy f_{xy}^{”}(x,y) dxdy$.

题目

一容器的内侧是由图中曲线绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $x^{2} + y^{2} = 2y$ $ (y \geqslant \frac{1}{2})$ 与 $x^{2} + y^{2} = 1$ $(y \leqslant \frac{1}{2})$ 连接而成。

$(Ⅰ)$ 求容器的容积；

$(Ⅱ)$ 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？

（长度单位：$m$, 重力加速度为 $g$ $ m/s^{2}$, 水的密度为 $10^{3}$ $kg/m^{3}$）

题目

$(Ⅰ)$ 证明：对任意的正整数 $n$, 都有 $\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$ 成立.

$(Ⅱ)$ 设 $a_{n} =$ $1+$ $\frac{1}{2}+$ $…$ $+\frac{1}{n}$ $- \ln n$ $(n=1,2,…)$, 证明数列 ${a_{n}}$ 收敛.