2013年考研数二第19题解析:拉格朗日乘数法求条件极值、求曲线上的最值

题目

求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

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2013年考研数二第18题解析:拉格朗日中值定理、罗尔定理、中值定理

题目

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数,且 $f(1)=1$. 证明:

$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;

$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.

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2013年考研数二第16题解析:计算旋转体的体积

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形,$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴,$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积,若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。

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2012年考研数二第23题解析:二次型基础、二次型化为标准型、秩

题目

已知:

$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & a\\
0 & a & -1
\end{bmatrix},
$$

二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=X^{\top}(A^{\top}A)X$ 的秩为 $2$.

$(Ⅰ)$ 求实数 $a$ 的值;

$(Ⅱ)$ 求正交变换 $x=Qy$, 将 $f$ 化为标准形。

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2012年考研数二第22题解析:行列式的按行(列)展开定理、非齐次线性方程组求解

题目

设:

$$
A=\begin{bmatrix}
1 & a & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 0\\
0 & 0 & 1 & a\\
a & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$

$$
\beta=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$

$(Ⅰ)$ 计算行列式 $|A|$.

$(Ⅱ)$ 当实数 $a$ 为何值时,方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解,并求其通解。

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2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限

题目

$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根;

$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,并求此极限。

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2013 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

已知极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c,$ 其中 $k,c$ 为常数,且 $c \neq 0,$ 则 ( )

$$( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.$$

$$( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.$$

$$( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.$$

$$( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.$$

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

行列式 $\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=$ ( )

$$( A ) (ad-bc)^{2}$$
$$( B ) -(ad-bc)^{2}$$
$$( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}$$
$$( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}$$

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶导数,$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,$ 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )

( A ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \geqslant g(x).$

( B ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \leqslant g(x)$.

( C ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \geqslant g(x)$.

( D ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \leqslant g(x)$.

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