题目
求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
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2013年考研数二第18题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、中值定理
题目
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：
$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;
$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.
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题目
设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 $\iint_{D} x^{2} dxdy.$
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题目
设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。
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题目
当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。
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题目
已知：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & a\\
0 & a & -1
\end{bmatrix},
$$
二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=X^{\top}(A^{\top}A)X$ 的秩为 $2$.
$(Ⅰ)$ 求实数 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 求正交变换 $x=Qy$, 将 $f$ 化为标准形。
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题目
设：
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & a & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 0\\
0 & 0 & 1 & a\\
a & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
$$
\beta=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$
$(Ⅰ)$ 计算行列式 $|A|$.
$(Ⅱ)$ 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解，并求其通解。
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题目
$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；
$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
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题目
证明：
$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$
其中：
$$
-1 < x < 1.
$$
2011年考研数二第11题解析
题目
曲线 $y = \int_{0}^{x}\tan t d t(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4})$ 的弧长 $s = ?$
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题目
已知极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c,$ 其中 $k,c$ 为常数，且 $c \neq 0,$ 则 ( )
$$( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.$$
$$( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.$$
$$( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.$$
$$( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.$$
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题目
极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$（）
$$( A ) 1.$$
$$( B ) e.$$
$$( C ) e^{a-b}.$$
$$( D ) e^{b-a}.$$
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题目
行列式 $\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=$ ( )
$$( A ) (ad-bc)^{2}$$
$$( B ) -(ad-bc)^{2}$$
$$( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}$$
$$( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}$$
2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析
题目
设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,$ 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )
( A ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x).$
( B ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$.
( C ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x)$.
( D ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$.
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题目
设随机变量 $Y$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，$a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=$ __.
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