考研数二真题归档 - 第11页共17页

矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & a & 1\\
a & b & a\\
1 & a & 1
\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$ 相似的充分必要条件为 $?$

$$
A. a = 0, b = 2
$$

$$
B. a = 0, b 为任意常数
$$

$$
C. a = 2, b = 0
$$

$$
D. a = 2, b 为任意常数
$$

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2013年考研数二第07题解析

题目

设 $A$, $B$, $C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $AB=C$, 且 $B$ 可逆，则 $?$

$$
A. 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
$$

$$
B. 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
$$

$$
C. 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
$$

$$
D. 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
$$

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2013年考研数二第06题解析

题目

设 $D_{k}$ 是圆域 $D={(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 1 }$ 在第 $k$ 象限的部分，记 $I_{k}=\iint_{D_{k}} (y-x) dxdy (k=1,2,3,4)$, 则 $?$

$$
A. I_{1} > 0
$$

$$
B. I_{2} > 0
$$

$$
C. I_{3} > 0
$$

$$
D. I_{4} > 0
$$

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2013年考研数二第05题解析

题目

设 $z=\frac{y}{x}f(xy)$, 其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = ?$

$$
A. 2yf^{‘}(xy)
$$

$$
B. -2yf^{‘}(xy)
$$

$$
C. \frac{2}{x}f(xy)
$$

$$
D. -\frac{2}{x}f(xy)
$$

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2013年考研数二第04题解析

题目

设函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{(x-1)^{a-1}}, 1 < x < e,\\
\frac{1}{x \ln^{a+1} x}, x \geqslant e.
\end{matrix}\right.$ 若反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x)dx$ 收敛，则 $?$

$$
A. a < -2
$$

$$
B. a > 2
$$

$$
C. -2 < a < 0
$$

$$
D. 0 < a < 2
$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：

$$
\int_{1}^{e} \frac{1}{(x-1)^{a-1}}dx \Rightarrow 收敛;
$$

$$
\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{a+1} x} dx \Rightarrow 收敛.
$$

结合前面的公式，于是有：

$$
a-1<1;
$$

$$
a+1>1.
$$

于是：

$$
0<a<2.
$$

综上可知，正确选项为 $D$.

EOF

2013年考研数二第03题解析

题目

设函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix}
\sin x, 0 \leqslant x < \pi,\\
2, \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi,
\end{matrix}\right.$ $F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt$, 则 $?$

$$
A. x = \pi 是函数 F(x) 的跳跃间断点
$$

$$
B. x = \pi 是函数 F(x) 的可去间断点
$$

$$
C. F(x) 在 x = \pi 处连续但不可导
$$

$$
D. F(x) 在 x = \pi 处可导
$$

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