荒原之梦 - 第108页共241页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

对 $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\tan x) \sec ^{2} x \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d}$ $(\cot x)$

[B]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d}$ $(\tan x)$

[D]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d}$ $(\tan x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\tan x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\sec ^{2} x} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int \textcolor{Red}{f(\tan x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\tan x}).$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(\cos x) \sin x$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\cos x) \sin x \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\cos x) \sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\cos x)$ $\mathrm{d} (\sin x)$

[B]. $\int$ $f(\cos x) \sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\cos x)$ $\mathrm{d} (\cos x)$

[C]. $\int$ $f(\cos x) \sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\cos x)$ $\mathrm{d} (\cos x)$

[D]. $\int$ $f(\cos x) \sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\cos x)$ $\mathrm{d} (\sin x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\cos x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\sin x} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Orange}{-} \int \textcolor{Red}{f(\cos x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\cos x}).$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(\sin x) \cos x$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\sin x) \cos x \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\sin x) \cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\sin x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int$ $f(\sin x) \cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\sin x)$ $\mathrm{d} (\sin x)$

[C]. $\int$ $f(\sin x) \cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\sin x)$ $\mathrm{d} (\sin x)$

[D]. $\int$ $f(\sin x) \cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\sin x)$ $\mathrm{d} (\cos x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\sin x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\cos x} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int \textcolor{Red}{f(\sin x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\sin x}).$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(\sqrt{x}) \frac{1}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\sqrt{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\sqrt{x}) \frac{1}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\sqrt{x})$ $\mathrm{d} (\sqrt{x})$

[B]. $\int$ $f(\sqrt{x}) \frac{1}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int$ $f(\sqrt{x})$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int$ $f(\sqrt{x}) \frac{1}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-2$ $\int$ $f(\sqrt{x})$ $\mathrm{d} (\sqrt{x})$

[D]. $\int$ $f(\sqrt{x}) \frac{1}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int$ $f(\sqrt{x})$ $\mathrm{d} (\sqrt{x})$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\sqrt{x})} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\frac{1}{\sqrt{x}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Orange}{2} \int \textcolor{Red}{f(\sqrt{x})} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\sqrt{x}}).$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(\ln x) \frac{1}{x}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\ln x) \frac{1}{x} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\ln x) \frac{1}{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\ln x)$ $\mathrm{d} (\ln x)$

[B]. $\int$ $f(\ln x) \frac{1}{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\ln x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int$ $f(\ln x) \frac{1}{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\ln x)$ $\mathrm{d} (\ln x)$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $f(\ln x) \frac{1}{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\ln x)$ $\mathrm{d} (\ln x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\ln x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\frac{1}{x}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int \textcolor{Red}{f(\ln x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\ln x})$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\frac{1}{x})$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int$ $f(\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\frac{1}{x})$ $\mathrm{d} (\frac{1}{x})$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $f(\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\frac{1}{x})$ $\mathrm{d} (\frac{1}{x})$

[D]. $\int$ $f(\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\frac{1}{x})$ $\mathrm{d} (\frac{1}{x})$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\frac{1}{x})} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\frac{1}{x^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Orange}{-} \int \textcolor{Red}{f(\frac{1}{x})} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\frac{1}{x}}).$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(e^{x}) e^{x}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(e^{x}) e^{x} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(e^{x}) e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(e^{x})$ $\mathrm{d} (e^{x})$

[B]. $\int$ $f(e^{x}) e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(e^{x})$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int$ $f(e^{x}) e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(e^{x})$ $\mathrm{d} (e^{x})$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $f(e^{x}) e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(e^{x})$ $\mathrm{d} (e^{x})$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(e^{x}) e^{x}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int \textcolor{Red}{f(e^{x})} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{e^{x}})$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(ax^{n}+b)x^{n-1} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{na}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n}+b)$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{na}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n}+b)$

[C]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n}+b)$

[D]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{na}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n+1}+b)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(ax^{n}+b)x^{n-1}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Orange}{\frac{1}{na}} \textcolor{Green}{\times} \int \textcolor{Red}{f(ax^{n}+b)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(ax^{n}+b)}.$$其中，$a$ 和 $n$ 都是常数且 $a$ $\neq$ $0$, $n$ $\neq$ $0$.

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(ax + b) \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}(ax + b)$

[B]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}(ax + b)$

[C]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}x$

[D]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}(ax + b)$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(ax + b)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Orange}{\frac{1}{a}} \textcolor{Green}{\times} \int \textcolor{Red}{f(ax + b)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(ax + b)}$$其中，$a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$.

常用的几种凑微分形式：

$\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x \pm \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \mp a^{2}} \Big|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{1 – x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1-x}{1+x} \Big|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1+x}{1+x} \Big|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1+x}{1-x} \Big|$

[D]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1+x}{1-x} \Big|$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{1 – x^{2}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2}} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\ln \Big| \frac{1+x}{1-x} \Big|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{a^{2} – x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a+x}{a-x} \Big|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a-x}{a+x} \Big|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a+x}{a+x} \Big|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a+x}{a-x} \Big|$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{a^{2} – x^{2}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2a}} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\ln \Big| \frac{a+x}{a-x} \Big|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$.

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arctan x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin x$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin x$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \arcsin x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\arcsin x} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin \frac{x}{a}$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin \frac{x}{a}$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\sin \frac{x}{a}$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \arcsin \frac{a}{x}$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\arcsin \frac{x}{a}} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

相关公式：当 $a$ $=$ $1$ 时，$\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式可以简化为 $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式.

基本积分公式：

$\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{x}{1 + x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (1 + x^{2})$

[B]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (1 + x^{2})$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (1 + x)$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (x + x^{2})$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \mathrm{d} x=$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2}} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\ln (1 + x^{2})} + \textcolor{Yellow}{C}.$$